La Espiral Aúrea.

La espiral aúrea.

La Espiral áurea es una espiral logarítmica asociada a las propiedades geométricas del rectángulo dorado. La razón de crecimiento es Φ, es decir la razón dorada. Aparece esta espiral representada en diversas figuras de la naturaleza (plantas, galaxias espirales, ), así como en el arte.

El rectángulo dorado es un rectángulo que posee una proporcionalidad entre sus lados igual a la razón aúrea. Es decir que es aquél rectángulo que al substraer la imagen de un cuadrado igual al de su lado menor, el rectángulo resultante es igualmente un rectángulo dorado.

Desarrollo matemático:

La ecuación polar que describe la espiral dorada es la misma que cualquier otra espiral logarítmica, pero con el factor de crecimiento igual b:3

o, de la misma forma

. Siendo e la base del logaritmo natural, a es una constante real positiva y b es tal que cuando el ángulo θ es un ángulo recto:

Por lo tanto, b se encuentra determinado por:

El valor numérico de b depende de si es medido con grados o como radianes; la mejor forma de encontrar una fórmula sencilla es tomar el valor absoluto de (esto es, b que puede ser también negativo):

para θ en grados;

para θ en radianes.

Una fórmula alternativa para la espiral dorada se obtiene en:4

donde la constante c está determinada por:

para la espiral dorada los valores de c son:

si θ se mide en grados sexagesimales, y si θ se mide en radianes.

La espiral Logarítmica en la naturaleza.

Aparece por primera vez en un escrito de Descartes, en 1638, aunque fue bautizada así por Jackob Bernouilli, en un trabajo suyo donde fascinado por la belleza de esta curva la llama"Spira mirabilis" , tanto le gustó que la hizo grabar en su tumba, pero en vez de poner el dibujo de la espiral logarítmica, pusieron el dibujo de la espiral de Arquímedes. Torricelli trabajó en ella independientemente y encontró la longitud de la curva.

Hace millones de años, antes de la aparición de los peces; en la familia de los cefalópodos, había muchas especies de animales con concha en forma de espiral.
También hay pruebas en el arte prehistórico irlandés (unos 3000 años a.C); y si observamos las galaxias del Universo la más cercana a nosotros es nuestra vecina Andrómeda, análogamente podemos observar la forma de la espiral en las borrascas.
En los efectos devastadores de un tornado encontramos esta curva, y los pequeños tornados que se producen en los lavabos también dibujan espirales.
Si observamos las margaritas, los girasoles, las piñas de piñones o las hojas de una rosa podemos contemplar familias enteras de espirales logarítmicas.

Construccion de la espiral aúrea.

Partiendo del cuadrado CDEF contruimos un rectángulo aúreo ABEF. Si a éste le añadimos sobre un lado mayor un cuadrado, obtenemos otro rectángulo áureo BFGH.

Si después, con este rectángulo repetimos el proceso, obtenemos otro rectángulo aúreo. Este proceso se puede reproducir indefinidamente obteniendo así una sucesión de rectángulos aúreos encajados.

Una vez construida esta sucesión de rectángulos aúreos encajados, si unimos mediante un arco de circunferencia dos vértices opuestos de cada uno de los cuadrados obtenidos, utilizando como centro de la misma otro de los vértices del mismo cuadrado, obtenemos una curva muy similar a una espiral logarítmica. Es la famosa Espiral aúrea (o espiral de Durero).

Proporcion Cordobesa, numero de plata en el octogono regular y triángulo cordobés

Proporción Cordobesa

En diversos trabajos de investigación (de arquitectura, sobre pintura, etc.) aparece un rectángulo que no está en la proporción áurea, sino que la relación entre sus lados es de 1,3.....

El número áureo puede establecerse como la relación existente entre el lado del decágono regular y el radio de la circunferencia circunscrita al mismo, pareció lógico buscar una relación de la misma naturaleza con la que dicha proporción quedara geométricamente fundamentada.
La misma quedó establecida al obtener la proporción buscada como la relación entre el radio de la circunferencia circunscrita al octógono regular y el lado de éste.
Cualquier matemático, o buen aficionado, sabe que esta relación es:

Dicho cociente es c = 1,306562964 ... que se conoce como número cordobés
Al ser más fácil construir un octógono regular que un pentágono, dicha proporción se extendió rápidamente quedando de manifiesto en múltiples obras pictóricas y arquitectónicas.

Como ejemplos podríamos citar la bóveda cordobesa, y nada digamos de las bellas arcadas de la mezquita de Córdoba.
Según los trabajos del alemán Fechner esta proporción se establece en multitud de obras pictóricas.
Para el arquitecto Rafael de la Hoz Arderius entre las diagonales de un rectángulo con dicha proporción queda perfectamente encajada la Gran Pirámide
Y como los anteriores podríamos citar más ejemplos.
Los estudios efectuados sobre el tema indican que la proporción dicha está más extendida de lo que hasta ahora se creía.

Triángulo cordobés

La proporción cordobesa puede ser codificada mediante el ángulo de 45º y se modeliza de

forma natural gracias a un notable triangulo isósceles.

Número de Plata en el octógono            Proporcion Cordobesa en el octogono

Número de Plata

En la antigua ciudad de Ostia (Roma), arquitectos

del siglo II d.C. diseñaron un conjunto de edificios a partir de un cuadrado-patrón: el llamado “cuadrado del corte sagrado” en el que se oculta el número de plata: θ= 1 + √2.

Al igual que el número de oro aparece en el pentágono regular, el número de plata lo hace en el octógono regular como la razón entre el lado y la diagonal.

Nos lo encontramos, también, en objetos cotidianos rectangulares y principalmente en rectángulos que encierran logotipos y anuncios en la prensa escrita. La relación entre los lados de estos rectángulos es la del número de plata:

1 y 1+√2 . Por eso se les llama Rectángulo de Plata.

Manuel Jesús Peñalver
Cristian Galán
Javier Rueda

Pentágono regular, Pitagóricos y proporción Áurea

El pentágono regular.

Un pentágono regular es aquel que tiene todos sus lados y ángulos iguales. Cada ángulo interno mide 108º y cada ángulo externo 72º. En él podemos encontrar la proporción áurea, ya que, en su interior podemos dibujar la llamada estrella áurea uniendo vértices dos a dos.
                                    



La proporción áurea.

El número áureo se representa con la letra Φ,este se representa como :


       
Es un número que simboliza la belleza y que aparece en numerosos casos en la naturaleza, en figuras geométricas como el caparazón de un caracol o las hojas de algunos árboles.
También fue utilizada esta proporción por diversos escultores como Da Vinci o Botticelli; se puede encontrar en edificios como el Partenón de Grecia y en objetos de la vida cotidiana como puede ser nuestro DNI.


Pitagóricos.


Eran los seguidores del movimiento que fundó Pitágoras. Descubrieron los números irracionales y la estrella de cinco puntas (pentagrama) que utilizaron como símbolo.
Los pitagóricos asocian el número 5, y por tanto, el pentagrama, a la vida, al poder y a la invulnerabilidad.

Relación de ideas.

Cuando dibujamos en un pentágono regular de un centímetro cada lado la estrella áurea o estrella de los pitagóricos, nos damos cuenta de que las diagonales de esta estrella, es el número Φ, por lo tanto, tiene las proporciones áureas.



Cristina Aguayo Álvarez
Elena Ibáñez Muñoz 

La proporción áurea en el arte.

Los rectángulos áureos son aquellos cuyos lados están en proporción áurea, es decir, el cociente entre su lado mayor y su lado menor es igual al número de oro.

Si cortamos un cuadrado cuyo lado sea el lado corto del rectángulo obtenemos un rectángulo semejante al original, es decir, tiene las mismas proporciones.

Da Vinci utiliza esta proporción en sus obras, la aplicación más directa que hace de estas proporciones la encontramos en “La Mona Lisa”. En esta obra podemos encontrar la relación áurea en las proporciones del cuadro en las dimensiones del rostro, en el espacio que hay entre el cuello  la mano en el que hay entre el escote del vestido y el final de la mano.

Da Vinci también utilizó la proporción áurea como un reflejo de la proporción humana. Establece que las proporciones del cuerpo humano son perfectas cuando el ombligo divide a cuerpo en modo áureo y es a la vez el centro de la circunferencia que lo circunscribe.

Espiral de Durero

Una vez construida la sucesión de rectángulos áureos encajados, si unimos mediante un arco de circunferencia los vértices opuestos de cada uno de los cuadrados obtenidos, utilizando como centro de la misma otro de los vértices del mismo cuadrado, obtenemos una aura similar a una espiral logarítmica, es la famosa “espiral de Durero”.

Marta López y Ana Jiménez

Leonhard Euler y aplicaciones del número e

Leonhard Paul Euler (15 de abril de 1707- 18 de septiembre de 1783) fue un gran matemático físico y suizo del siglo XVIII. Vivió en Rusia y Alemania la mayor parte de su vida


Uno de sus logros fue que definió la constante matemática conocida como numero e, como aque numero real tal que el valor de la derivada de la función f(x)=e en el punto x=0 es exactamente 1.El número e es el numero : 2.7182818284.... Tiene distintas aplicaciones:

1. Aplicacion a la economia: se ultiliza para calcular el interes continuo
2. Aplicacion en quimica : en la desintegracion radiactiva
3. Aplicaciones en la naturaleza: crecimiento demografico de una poblacion, en arqueologia para determinar de forma aproximada la edad de un esqueleto o de un fosil
4. Aplicacion en ingeniera
5. La espiral logaritmica
6. Aplicaciones en fenomenos con crecimiento y decrecimiento exponencial
7. Aplicacion en el crecimiento de una colonia de bacterias
8. Aplicacion en la absorcion de rayos x por la materia: ley de Brogg- Pierce
9. Aplicacion de la ingesta de alcohol y conduccion de vehiculos
10. Crecimiento logistico

Miriam Montes
José Luis López

Los Números Metálicos

En matemáticas los números metálicos son un conjunto de números singulares, positivos e irracionales cuadráticos que reciben nombres especiales relacionados con diferentes metales.
 La familia de los números metálicos, introducida por la matemática argentina Vera de Spinadel en 1994, está formada por las raíces positivas de las ecuaciones de la forma    x2 − p x − p = 0,   donde p y q son números enteros positivos.
Algunos de estos números metálicos tienen nombre propio y son muy conocidos. El más famoso de todos ellos se obtiene cuando p = 1 y q = 1. En tal caso la ecuación que nos resulta es x2 − x − 1 = 0, cuya raíz positiva es el número de oro

En la siguiente tabla puedes ver los nombres de algunos de los números metálicos:


                          Nombre          p         q Valor

Algunas propiedades comunes de los números metálicos son fundamentales en campos actuales de la investigación sobre la estabilidad de sistemas físicos, desde la estructura interna del ADN hasta las galaxias astronómicas.

Formatos DIN y el número irracional √2

Formatos Din y el número irracional √2

Los formatos de papel estándar en la mayor parte del mundo se basan en los formatos conocidos como DIN. Este formato tiene como idea principal aprovechar el papel al máximo, de modo que se desperdicie lo mínimo posible.

El pliego de papel fabricado mide 1 metro cuadrado y la medida de sus lados guardan una proporción tal, que dividiéndolo a la mitad de su longitud, cada una de las mitades siguen guardando la misma relación entre sus lados que el pliego original. Para que la medida de los lados cumpla esta propiedad, deben guardar una relación particular:

El lado más largo de estos rectángulos es el lado corto multiplicado por la raíz cuadrada de dos.

El pliego de tamaño 1 metro cuadrado recibe el nombre de A0, las siguientes divisiones que reducen su superficie a la mitad del anterior, reciben sucesivamente los nombres de A1, A2, A3, A4, A5, A6... queriendo con ello indicar el número de cortes desde el pliego original, ayudando así su nombre a conocer o hacerse una idea de la superficie total.

Álvaro Castillo García

Dalí y el triángulo áureo

Salvador Dalí

Salvador Dalí nace en Figueras (España) en 1904. Entre 1921 y 1925 estudia en la Academia San Fernando de Madrid donde entabla amistad con el poeta Federico García Lorca y el cineasta Buñuel. En 1925 la Galería Dalmau de Barcelona le organiza su primera exposición personal, exposición a partir de la cual Picasso y Miró empiezan a interesarse por sus trabajos. 

Dalí se deja influir primero por el futurismo, por el cubismo después (1925). En abril de 1926 Dalí viaja por primera vez a París donde visita a Picasso. En su segundo viaje a París, en 1929, asiste al rodaje de la película de Buñuel “El perro Andaluz“ de la cual Dalí es coguionista, y Miró le presenta al grupo de los surrealistas. Dalí encuentra a André Breton y a Gala, su futura esposa y musa (casada en aquel entonces con Paul Eluard). Adhiere al movimiento surrealista en 1929. Dali se interesa por las teorías psicoanalíticas de Freud y define su método “paranóico-critico“. Pinta en aquel periodo espacios oníricos y fantasmagóricos poblados de elementos simbólicos : relojes blandos, muletas, animales fantásticos, personajes retorcidos.
El 23 enero de 1989 muere a los 84 años de edad. Su cadáver es embalsamado y enterrado en su ciudad natal.

                                                      

El triángulo áureo

El triángulo áureo se trata de la división de una dada longitud en dos segmentos de forma que la longitud total (a+b) es al segmento mayor (a) como este es al segmento menor (b). O sea, (a+b)/a=a/b. 

Si llamamos Φ (fi) = a/b , la ecuación anterior puede escribirse como 1+1/ Φ = Φ

En la figura anterior, el segmento rojo es al segmento verde como este es al azul y como este a su vez al rosa. Todos ellos tienen una relación dada por el número áureo.

Relación con Dalí 

Dalí realizó el cuadro llamado Leda Átomica con ayuda del matemático Matila Ghyka, que le ayudó a sobrellevar tres meses de complicados cálculos teóricos que dieron lugar al pentágono del óleo. Dalí estudió sistemáticamente matemáticas con el fin de desarrollar el contenido pictórico de su obra.

El pentágono estrellado o pentagrama místico, es el símbolo de la escuela pitagórica. Según la tradición, es el símbolo de los seguidores de Pitágoras. Los pitagóricos pensaban que el mundo estaba configurado según un orden numérico, donde solo tenían cabida los números fraccionarios. La casualidad hizo que en su propio símbolo se encontrara un número raro: el número de oro.

Las diagonales del pentágono regular forman un polígono estrellado de cinco puntas; dos de estas diagonales forman con el lado de dicho polígono convexo un triángulo isósceles, estableciéndose entre los lados iguales y la base una proporción áurea.

Las diagonales del pentágono forman diez triángulos isósceles, cinco acutángulos y cinco obtusángulos: estos triángulos son los llamados triángulos áureos. 

                                                            

Ejemplo: Leda Atómica

EL número π

-Definción del número Pi:

Euclides fue el primero en demostrar que la relación entre una circunferencia y su diámetro es una cantidad constante por lo que, el número Pi, se define como la razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. Este no es un número exacto sino que es de los llamados irracionales, lo que significa que no puede expresarse como fracción de dos números enteros, como demostró J.H. Lambert. También es un número transcendente, es decir, que no es la raíz de ningún polinomio de coeficientes enteros. Se emplea frecuentemente en matemáticas, física e ingenierías. El valor de Pi, truncando sus primeras cifras, es el siguiente:

                   π= 3’14159265358979323846…

También ha sido una parte de la cultura humana y la imaginación, estudiado durante más de veinticinco siglos, y aún así este número tan peculiar y famoso se sigue estudiando.

-Historia del número Pi:

Desde 1761 sabemos que Pi es un número irracional lo que significa que no puede expresarse como fracción de números enteros, elegida para denominar al número, es la inicial de la ”π”, elegida para denominar al número, es la inicial de la palabra griega perímetro y se usó por primera vez en 1700 por el matemático Leonhard Euler.

A lo largo de la historia el valor adoptado para π ha ido cambiando, su valor se ha ido obteniendo con diversas aproximaciones a lo largo de la historia. El valor más antiguo que se conoce es 3’1405 encontrado en el Papiro de Ahmes* en Egipto en 1900 a.C. En el año 263 d.C. Lui Hui calculó el valor en 3’14159265359, en la época precomputacional también lo intentaron matemáticos como Arquímedes o Fibonacci . Pero los algoritmos encontrados por matemáticos en el S. XVII dispararon estos números de decimales.

En 1841 Rutherford calculó 208 decimales pero solo 152 eran correctos. En 1873 Shanks obtuvo 528 correctos y en 1944 Ferguson 808. Con la invención del ordenador en 1949 se encontraron 2037 y en los años 60 se llegó hasta los 250.000. Actualmente el record lo posee  el japonés Shigeru Kondo con 10 billones de decimales encontrados gracias a una computadora de su invención.

Papiro de Ahmes                     

             Shigueru Kondo y su computadora

*El Papiro de Ahmes, también conocido como Papiro Rhind, es un documento de carácter didáctico que contiene diversos problemas matemáticos. Fue escrito por el escriba Aahmes a mediados del siglo XVI a. C. (Es la prueba más antigua del conocimiento del número Pi)

-Fórmulas que contienen el número PI

‍En geometría

• Longitud de la circunferencia de radio r: C = 2 π r

Áreas de secciones cónicas:

• Área del círculo de radio r: A = π r²
• Área de la elipse con semiejes a y b: A = π ab

Áreas de cuerpos de revolución:

• Área del cilindro: 2 π r (r+h)
• Área del cono: π r² + π r g
• Área de la esfera: 4 π r²

Volúmenes de cuerpos de revolución:

• Volumen de la esfera de radio r: V = (4/3) π r³
• Volumen de un cilindro recto de radio r y altura h: V = π r² h
• Volumen de un cono recto de radio r y altura h: V = π r² h / 3

Ecuaciones expresadas en radianes

• Ángulos: 180 grados son equivalentes a π radianes.

‍En probabilidad

• La probabilidad de que dos enteros positivos escogidos al azar sean primos entre sí es: 6/π²
• Si se eligen al azar dos números positivos menores que 1, la probabilidad de que junto con el número 1 puedan ser los lados de un triángulo obtusángulo es: (π-2)/4
• El número medio de formas de escribir un entero positivo como suma de dos cuadrados perfectos es π/4 (el orden es relevante).
• Aguja de Buffon: si lanzamos al azar una aguja de longitud L sobre una superficie en la que hay dibujadas líneas paralelas separadas una distancia D, la probabilidad de que la aguja corte a una línea es: Dπ/2L

Manuel Nieto Arjona

Manuel Bravo Santiago

El número «e» como límite de una sucesión y como suma de una serie infinita.

El número e = 2'71828183..., para conocerlo, hay que saber sobre su pasado, a lo largo de los siglos, los matemáticos, creando sucesiones, se aproximaban a dicho número, llegando un momento en el que los valores se estabilizaban alrededor de e, sin sobrepasar 2'75.

El número e tal y como lo conocemos, fue "descubierto" por John Napier, un matemático escocés que centró sus estudios entorno a los logaritmos, ya que le eran requeridos para calcular proporciones en la construcción de barcos, de ahí que los logaritmos de base e sean conocidos como «logaritmos neperianos». Aunque la primera  aproximación se la debemos a Euler, que  describió dicho número con 23 decimales, inspirado en los cálculos de Napier. La cantidad de decimales, parece insignificante con respecto a los que consiguieron calcular el 5 de julio de 2010 Shiger Kondo y Alexander J. Yee, que consiguieron 1. 000. 000. 000. 000 dígitos, pero fue un gran avance en las matemáticas de la época.

La definición más común del número e es como un valor de límite de una serie.

Otra definición habitual es la que es dada a través de la definición de e como el número para el que:

El número e puede ser representado como un número real en varias formas: como una serie infinita, un producto infinito, una fracción continua o como el límite de una sucesión. La principal de estas representaciones, particularmente en los cursos básicos de cálculo, es el límite:

El número e en la actualidad tiene multitud de aplicaciones, que podemos ver en este video juntó a una explicación de su origen.

Fernando Aguayo Cuesta

El rectángulo de oro y el triángulo de oro.

- Rectángulo de oro.

También conocido como rectángulo dorado o áureo es el rectángulo que posee una proporcionalidad entre sus lados igual a la razón áurea.

Es decir que aquel rectángulo que al sacar la imagen de un cuadrado igual al de su lado menor, el rectangulo resultante es un rectángulo dorado.

- Triángulo áureo.

Es el que se forma al unir una arista de un pentagono regular con el vértice opuesto.

Es un triángulo isósceles, en el que al dividir uno de los lados iguales entre el lado desigual se obtiene la razón áurea.

María Muñoz y Jésica Rosales

Ángulo áureo y filotaxia

Ángulo áureo y filotaxia

El ángulo áureo es la proporción entre dos segmentos circulares cuyo valor viene dado por 360º/(1+Ф).El autor de este gran descubrimiento fue Fibonacci. Al ser un número irracional el número de oro, el resultado de esta división es un ángulo irracional. Este ángulo recibe el nombre de ángulo de oro, y no es para nada una cosa tan extraña, ya que este ángulo se encuentra en la propia naturaleza.

Como antes hemos dicho, la naturaleza ha utilizado este ángulo en el crecimiento de las plantas, ya que se ha considerado un ángulo perfecto ya que en la flor se queda sin espacio desarrollándose en forma de espiral. La ventaja de esta forma de crecimiento con el ángulo áureo es su eficiencia de espacio y de captación de la luz solar, ya que únicamente con éste ángulo se asegura que no haya pérdida de espacio y que ningún pétalo obstaculice a otro en la recolección de luz solar.

La filotaxia son las diferentes formas que tiene de crecer las hojas del tallo de la planta, lo que tiene que ver mucho con el ángulo aúreo. Esta influencia se debe a que las hojas buscan la mayor capacidad para percibir la luz solar. 

Finalmente, os dejamos un video, que seguro que os gustará.

 

Alfonso Extremera Fernández

Sergio Rosales Serrano