Actividades Mates Primero Bachillerato A. IES Alfonso XI: noviembre 2013

sábado, 30 de noviembre de 2013

Paolo Ruffini

Paolo Ruffini (1765 – 1822) fue un matemático, profesor y médico italiano.

Nació el 22 de septiembre de 1765 en Valentano y murió el 10 de mayo de 1822 en Módena. De niño parecía destinado a la carrera religiosa. Entró en la universidad de Módena en 1783 para estudiar matemáticas, medicina, filosofía y literatura.
Ruffini impartió un curso sobre los fundamentos del análisis durante el curso 1787-88 cuando todavía era estudiante. Finalmente, el 9 junio de 1788 Ruffini se graduó en filosofía, medicina y cirugía. Poco después consiguió su grado en matemáticas.
El 15 de octubre de 1788, fue nombrado profesor de fundamentos de análisis. Después, Ruffini fue elegido catedrático de Elementos de Matemáticas en 1791. También, en 1791, obtuvo la licencia para ejercer la medicina en Módena.
Paolo Ruffini es conocido como el descubridor del llamado método de Ruffini que permite hallar los coeficientes del polinomio que resulta de la división de un polinomio cualquiera por el binomio x-a.

En matemáticas, la regla de Ruffini facilita el cálculo rápido de la división de cualquier polinomio entre un binomio de la forma $(x-r)\$ .La regla de Ruffini permite asimismo localizar las raíces de un polinomio y factorizarlo en binomios de la forma $(x-r)\$ (siendo r un número entero).

Algoritmo

La Regla de Ruffini establece un método para división del polinomio

$P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$

entre el binomio

$Q(x)=x-r\,\!$

para obtener el cociente

$R(x)=b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+\cdots+b_1x+b_0$

y el resto

$s. \!$

1. Se trazan dos líneas a manera de ejes y se escriben los coeficientes de P(x), ordenados y sin omitir términos nulos.
Se escribe la raíz r del lado izquierdo y el primer coeficiente en el renglón inferior (a_n):

$\begin{array}{c|ccccc} {} & a_n & a_{n-1} & \dots & a_1 & a_0 \\ r & {} & {} & {} & {} & {} \\ \hline {} & a_n & {} & {} & {} & {} \\ {} & =b_{n-1} & {} & {} & {} & {} \\ \end{array}$

2. Se multiplica (a_n) por r y se escribe debajo de a_n-1:

$\begin{array}{c|ccccc} {} & a_n & a_{n-1} & \dots & a_1 & a_0 \\ r & {} & b_{n-1}\,r & {} & {} & {} \\ \hline {} & a_n & {} & {} & {} & {} \\ {} & =b_{n-1} & {} & {} & {} & {} \\ \end{array}$

3. Se suman los dos valores obtenidos en la misma columna:

$\begin{array}{c|ccccc} {} & a_n & a_{n-1} & \dots & a_1 & a_0 \\ r & {} & b_{n-1}\,r & {} & {} & {} \\ \hline {} & a_n & a_{n-1} + b_{n-1}\,r & {} & {} & {} \\ {} & =b_{n-1} & =b_{n-2} & {} & {} & {} \\ \end{array}$

4. El proceso se repite:

$\begin{array}{c|ccccc} {} & a_n & a_{n-1} & \dots & a_1 & a_0 \\ r & {} & b_{n-1}\,r & \dots & b_1\,r & b_0\,r \\ \hline {} & a_n & a_{n-1} + b_{n-1}\,r & \dots & a_1 + b_1\,r & a_0 + b_0\,r \\ {} & =b_{n-1} & =b_{n-2} & \dots & =b_0 & =s \\ \end{array}$

Los valores b son los coeficientes del polinomio resultante $R(x) \!$ de grado uno menos que el grado de $P(x) \!$ . El residuo es $s. \!$

Ejemplo

División de

$P(x)=2x^3+3x^2-4\,\!$

entre

$Q(x)=x+1.\,\!$

utilizando la regla de Ruffini.

1. Se escribe $Q(x)=x+1=x-(-1)\,\!$ y el primer coeficiente (2) en el primer renglón:

$\begin{array}{c|cccc} {} & 2 & 3 & 0 & -4 \\ -1 & {} & {} & {} & {} \\ \hline {} & 2 & {} & {} & {} \\ \end{array}$

2. Multiplicando por la raíz r(=-1):

$\begin{array}{c|rrrr} {} & 2 & 3 & 0 & -4 \\ -1 & {} & {-2} & {} & {} \\ \hline {} & 2 & {} & {} & {} \\ \end{array}$

3. Sumando la columna:

$\begin{array}{c|rrrr} {} & 2 & 3 & 0 & -4 \\ -1 & {} & {-2} & {} & {} \\ \hline {} & 2 & {1} & {} & {} \\ \end{array}$

4. El procedimiento se repite hasta obtener el residuo:

$\begin{array}{c|rrrr} {} & 2 & 3 & 0 & -4 \\ -1 & {} & {-2} & {-1} & {1} \\ \hline {} & 2 & {1} & {-1} & {-3} \\ {} & \mathrm{Coef.} & {} & {} & \mathrm{Resto} \end{array}$

Si el polinomio original = divisor×cociente+resto, entonces

$P(x)=Q(x)R(x)+s\,\!$ , donde

$R(x) = 2x^2+x-1\,\!$ y $s=-3.\,\!$

Sin embargo, no fue ésta su mayor contribución al desarrollo de la matemática. Hacia 1805 elaboró una demostración de la imposibilidad de la solución general de las ecuaciones algebraicas de grados quinto y superiores, aunque cometió ciertas inexactitudes que serían corregidas por el matemático noruego Niels Henrik Abel.

Realizado por: Lidia Serrano Pérez y Miranda García Torres

martes, 26 de noviembre de 2013

Gerolamo Cardano.

Gerolamo Cardano procedente de Italia fue un matemático italiano del Renacimiento, astrólogo y filosofo.
Destaca por sus trabajos de álgebra. Publicó las soluciones a las ecuaciones de tercer y cuarto grado.

La ecuación de 3º grado se resuelve por el llamado Método de Cardano que es un método para resolver cualquier ecuación de dicho grado.

Para resolver esta ecuación, como ya hemos visto se puede hacer por Ruffini o por este método. Hay que tener en cuenta:

A continuación un ejemplo :

Realizado por:
María Muñoz y Jesica Rosales

Niels Henrik Abel.

Fue un matemático noruego (1802-1829). Creció en un ambiente familiar poco adecuado, debido a los problemas alcohólicos de sus padres. Holmboe, un profesor de su escuela, apreció mucho las aptitudes matemáticas de Niels y le financió sus años de estudió en la universidad.

Gracias a otros profesores, Niels, recibió una real beca de viaje. Entre 1825 y 1827 conoció a grandes matemáticos alemanes y franceses y escribió la mayor parte de sus trabajos, publicados en la revista "Crelles journal". En ese tiempo desarrolló las teorías básicas de la funciones elípticas, descubrió una nueva clase de ecuaciones (abelinas) y su logro más importante; demostró que las ecuaciones de grado 5 o superior, no se pueden agrupar de forma general, para que una fórmula dé sus soluciones (es decir no se pueden resolver con fórmulas). Esto último lo hizo con sólo 22 años.

La falta de fondos económicos y sobre todo una tuberculosis, truncaron una muy buena carrera, digna de un gran genio.

Jaime Gálvez Romero.

Antonio Manuel Pérez.

lunes, 25 de noviembre de 2013

Tema 2 - Gauss y sus aportaciones

-Gauss y sus aportaciones-

Johann Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855), fue un matemático, astrónomo, geodesta, y físico alemán que contribuyó significativamente en muchos campos, incluida la teoría de números, el análisis matemático, la geometría diferencial, la estadística, el álgebra, la geodesia, el magnetismo y la óptica. Considerado «el príncipe de las matemáticas» y «el matemático más grande desde la antigüedad», Gauss ha tenido una influencia notable en muchos campos de la matemática y de la ciencia, y es considerado uno de los matemáticos que más influencia ha tenido en la Historia.

Nació en una familia humilde, con progenitores analfabetos; aún así, desde una temprana edad ya daba muestras de una prodigiosa capacidad para las matemáticas. Fue recomendado al Duque de Brunswick por sus profesores de primaria. El duque, impresionado por su inteligencia, pagó sus estudios en la universidad de Gotinga. En su tesis doctoral trató sobre el teorema fundamental del álgebra, que expliremos después.

En 1801, publica «Diquisiciones aritméticas» que supuso grandes avances para las matemáticas de la época. Gracias a este trabajo y a la predicción del comportamiento orbital del asteroide Ceres, su fama aumentó.
Algunos años después, maduró sus ideas sobre la geometría no euclidiana. No publicó sus conclusiones, pero se adelantó a matemáticas posteriores a su época.
Alrededor de 1820, desarrolló numerosas herramientas para el tratamiento de datos observacionales. En sus últimos años, estudió la mecánica, la acústica, la capilaridad y la óptica, llegando a publicar un libro sobre esta, «Investigaciones dióptricas».

Aportaciones de Gauss

- Descubrió un método para construir un polígono equilátero de 17 lados con ayuda de regla y compás, e incluso demostró que sólo ciertos polígonos equiláteros se podían construir con los citados elementos.

- Teorema fundamental del álgebra:
"Toda ecuación algebráica tiene una raíz de forma a+bi" a,b € R ; i € I

- Demostró que los números se pueden representar mediante un punto en el plano.

- Teorema fundamental de la aritmética, que señala que todo numero natural se puede representar como el producto de dos números primos.

- Construyó un heliotropo, instrumento que reflejaba la luz solar a grandes distancias.

-Campana de Gauss: Representación gráfica de la distribución normal de un grupo de datos. Estos se reparten en valores bajos, medios y altos, creando un gráfico de forma acampanada y simétrica. El punto máximo corresponde a la media y tiene 2 puntos de inflexión a ambos lados.

Entre sus usos se encuentran: La representación de caracteres como la estructura y el peso, el efecto de un fármaco, el consumo de un producto por un grupo de individuos y el coeficiente individual.

- Teoria general del magnetismo terrestre, que demuestra que casi todo el campo magnético en la superficie terrestre es originado en el interior de la Tierra.

- Método de Gauss de resolución de sistemas de ecuaciones, especialmente usado en sistemas lineales 3x3.

Aquí un documental de la vida y aportaciones de Gauss:

Fernando Aguayo Cuesta

Lucía Pérez Serrano

Estefanía Cano Carrillo

Scipiano del Ferro

Scipiano del Ferro

Scipiano del Ferro nació el 6 de Febrero de 1465 en Bolonia. Aunque no es un matemático muy conocido, su papel en la historia de la Matemática tiene que ver con la resolución de la ecuación de tercer grado. Scipiano del Ferro se educó en la Universidad de Bolonia y fue profesor de Aritmética y Geometría en dicha universidad desde 1496 hasta el final de su vida.

No han sobrevivido escritos de del Ferro, ello se debe a la resistencia que tenía a divulgar sus trabajos, prefería comunicarlos a un reducido grupo de alumnos y amigos. Se cree que tenía algún manuscrito donde guardaba sus importantes descubrimientos.

Descubrió por primera vez un método para resolver las ecuaciones de tercer grado reducidas, del tipo x³= bx + c. La fórmula usada para resolver este tipo de ecuaciones es:

Si Δ es positivo: La ecuación posee entonces una solución real y dos complejas.

Si Δ es cero: La ecuación posee entonces dos soluciones reales, una simple y una doble.

Si Δ es negativo: La ecuación posee entonces tres soluciones reales.

Álvaro Castillo García

domingo, 10 de noviembre de 2013

Número de oro y Decágono regular. Número de plata y hexágono regular.

El número de oro y el decágono regular.

El número de oro F = 1.6180... es un número algebraico irracional (cifras decimales infinitas), descubierto en la antigüedad, por los griegos.

Euclides fue el primero en hacer un estudio de este número y en afirmar que es irracional.

En la edad moderna, personas como Johannes Kepler, hablan de él en sus trabajos, así en 1900, el matemático Max Barr, fue el primero en denominar a este número como fi, en honor al escultor griego Fidias.

Su famosa proporción (a+b/a=a/b) se encuentra en otros polígonos regulares (rectángulo o pentágono), así como en el propio arte.

En el decágono regular se manifiesta de esta manera:

r/l = d₄/d₂₌F.

Jaime Gálvez Romero.

Antonio Manuel Pérez.

martes, 5 de noviembre de 2013

El número de oro y la sucesión de Fibonacci

SUCESIÓN DE FIBONACCI

La sucesión de Fibonacci, también conocida como secuencia de Fibonacci, es en sí una sucesión matemática infinita.
La sucesión fue descrita por Fibonacci como la solución a un problema de la cría de conejos:"Cierto hombre tenía una pareja de conejos y desea saber cuántos son creados a partir de este par en un año cuando es su naturaleza parir otro par en un simple mes, y en el segundo mes los nacidos parir también"

Consta de una serie de números naturales que se suman de a 2, a partir de 0 y 1.
La sucesión de Fibonacci se realiza sumando siempre los últimos 2 números de la siguiente manera:

0,1,1,2,3,3,8,13,21,34...

(0+1=1 / 1+1=2 / 1+2=3 / 2+3=5 / 3+5=8 / 5+8=13 / 8+13=21 / 13+21=34...)
Así sucesivamente, hasta el infinito. Por regla, la sucesión de Fibonacci se escribe así:
xn= xn-1 + xn-2.

La sucesión de fue escrita por Fibonacci como la solución a un problema de la cría de los conejos :"cierto hombre tenia una pareja de conejos y desea saber cuantos son creados a partir de este par en un año cuando es su naturaleza parir otro par en un simple mes, y en el segundo mes los nacidos parir también".

De esta manera Fibonacci presento la sucesión en su libro ´liberAbaci´ publicado en 1202.
Lo asombroso de esta secuencia es que esta presente prácticamente en todas las cosas del universo ,tiene toda clase de aplicaciones en matemáticas, computación y juegos , y aparecen en los mas diversos elementos biológicos.

Ejemplos claros son la disposición de las ramas de los árboles, las semillas de las flores, las hojas de un tallo… otros más complejos y aún mucho más sorprendentes es que también se cumple en los huracanes e incluso hasta en las galaxias enteras, desde donde obtenemos la idea del espiral de Fibonacci.

El numero de oro

Un número nada fácil de imaginar que convive con la humanidad porque aparece en la naturaleza y desde la época griega hasta nuestros días en el arte y el diseño. Es el llamado número de oro (representado por una letra griega) o también sección áurea, proporción áurea o razón áurea. Es un número irracional. Imaginemos un segmento de una longitud dada l y ahora queremos dividirlo en dos partes, pero de la forma más bella posible, de la forma más armónica. Por ejemplo, sean a y b esos dos segmentos, tal que a + b = 1 .
El mayor grado de armonía se alcanza cuando la relación entre la longitud total y el segmento ma yor es igual a la relación entre el segmento mayor y el menor.

Matemáticamente esto se expresa así ;
$\frac{a+b}{a}=\frac ab$

El valor numérico del número de oro es:
Ф=1,618033989…

Esta simple relación o cociente entre las longitudes de dos segmentos es la base de uno de los ca pítulos más curiosos y sugerentes de la Ciencia.
Desde la antigüedad ha despertado el interés y la curiosi dad de filósofos, geómetras, matemáticos, pintores, arquitectos y escultores.

LA RELACIÓN

Cada uno de los números de Fibonacci se acerca mucho a la llamada proporción áurea, o número de oro (aproximadamente 1.618034).
Cuanto mayor es el par de números de Fibonacci, más cerca de la proporción dorada estamos
Ejemplo: 377/233= 1,618025751072961…

$\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1,61803398874989...$

Ésta cifra resulta más bella y más agradable a nuestra percepción y ya sea consciente o inconscientemente, artistas la han empleado a lo largo de toda la historia de la humanidad.

María José Sánchez y Marta Cano

sábado, 2 de noviembre de 2013

Sobre las Fracciones Continuas

Antes de nada...

Empezaremos con la definición: Una fracción continua simple es aquella que tiene la forma siguiente:

Los numeradores son todos iguales a 1, y los coeficientes a_i, 1 ≤ i ≤ n son números naturales y a₀ es la parte entera de la fracción (mayor entero menor que la fracción). Esta forma (fracción de múltiples barras) es poco práctica, por eso se pensó en otra notación, menos complicada. La más aceptada es: [a₀; a₁, a_2, a₃,…, a_n]

¿Cómo obtener una fracción continua?

Las fracciones continuas se estudian mediante el proceso de la división reiterada, de la determinación de divisores de los números involucrados, en particular del máximo común divisor de diferentes números. En las notas que siguen, comenzamos mediante una introducción en la que exponemos el Algoritmo de Euclides para la determinación del máximo común divisor (MCD) de varios números enteros. Toda fracción continua simple finita representa un número racional y, recíprocamente, todo número racional representa a una fracción continua simple finita. Pongamos algunos ejemplos de fracciones continuas simples finitas, e infinitas.

Fracción simple finita:

¿Por qué la importancia de las fracciones continuas?

La representación de los números reales en forma decimal ofrece ciertos problemas cuando se trata de números decimales periódicos o de números irracionales, los cuales necesitan una secuencia infinita de dígitos. Las fracciones continuas permiten una representación de los números reales, tanto racionales como irracionales, de una forma elegante y precisa.

Algo de historia y aplicaciones

Las fracciones continuas, tan presentes en la historia de las matemáticas, están en la actualidad prácticamente olvidadas, especialmente en las aulas de Secundaria. Si acaso aparecen es como mera “gimnasia algebraica”.

Pero son uno de los temas más interesantes dentro de la teoría de números, así como también uno de los más antiguos. Su origen se remonta a la antigua Grecia, Euclides (330 a.C – 275 a.C) estudió por primera vez este tipo particular de fracciones en el Libro 8 de los Elementos.

Históricamente se utilizan las fracciones continuas desde la antigüedad tanto para aproximar números irracionales como para resolver ecuaciones diofánticas (ecuaciones con coeficientes y soluciones enteras).

Aparecen en Europa en el siglo XVI, utilizándose en principio para la aproximación de raíces cuadradas de diferentes números. Adquirieron un amplio desarrollo en Francia e Inglaterra durante el siglo XVII, con los trabajos de Pierre de Fermat (1601-1665), de William Brouncker (1620-1684) y de John Wallis (1616-1703), habiendo sido utilizadas también en la práctica en la solución de diferentes problemas, como por ejemplo, en los trabajos sobre determinación de engranajes en maquinas realizados por Christian Huygens (1629-1695) o en problemas de recubrimientos. El estudio de la fracciones continuas adquirió un espectacular desarrollo en los siglos XVIII y XIX, donde prácticamente fueron utilizadas por todos los grandes matemáticos de esa época.

¿Sigues creyendo en la nula importancia de los números en nuestro día a día? Quizás el anterior enlace te haga cambiar de idea. "Number is the essence of all things" - Pitágoras.

Noelia Pérez Mora y Francisco Martín Bayona.