¿Existe una ecuación general de quinto grado?

En matemáticas, se denomina ecuación de quinto grado o ecuación quíntica a una ecuación polinómica en que el exponente de la variable independiente de mayor grado es cinco. Es de la forma general:

donde a, b, c, d, e y f son miembros de un cuerpo (habitualmente el de los números racionales, el de los reales o los complejos), y .

La resolución de ecuaciones polinomicas es un tema al que quien más quien menos se ha acercado en su etapa de estudiante. Todos sabemos cómo resolver una ecuación de primer grado ,también la famosa formula para resolver una ecuación de segundo grado y no muy conocida por muchos la de grado tres y cuatro. Pero ,¿ Por qué dejamos de tener solución general cuando llegamos al grado cinco? Lo que voy a intentar explicar matemáticamente es por qué esta fórmula general no existe para ecuaciones de quinto grado. Y, sin lugar a dudas, los matemáticos protagonistas de esta historia son Évariste Galois y Niels Henrik Abel.

Las matemáticas encargadas de ayudarnos a demostrar que tal fórmula general no existe no son sencillas, y ni mucho menos evidentes. La teoría encargada de echarnos una mano para recorrer este camino será la teoría de grupos, teoría perteneciente a lo que podríamos llamar matemáticas avanzadas, y más concretamente la teoría de Galois. Pero que esto no os asuste, intentaremos hacer el camino lo más llevadero posible para que nadie esté obligado a abandonar a mitad de travesía.

Évariste Galois 

La idea brillante, y la verdadera clave de todo este asunto, fue el descubrimiento de que a cada ecuación polinómica se le podía asignar un cierto grupo (grupo: estructura algebraica que cumple ciertas propiedades), denominado grupo de Galois de la ecuación. No nos interesa saber qué es exactamente un grupo, ni cómo contruir este grupo de Galois en cada caso, simplemente que cada ecuación polinómica está asociada a su grupo de Galois.

Una de las muchas propiedades interesantes que puede tener (o no) un grupo es la solubilidad. Es decir, hay grupos solubles (también llamados resolubles) y grupos que no lo son. La definición de grupo resoluble es algo avanzada (para los interesados está al final del post), pero para continuar leyendo no es necesario conocerla. Lo que sí es interesante saber, y de hecho es uno de los pasos importantes en todo esto, es que Galois demostró que se pueden expresarconvenientemente las soluciones de una ecuación polinómica si y sólo si el grupo de Galois de dicha ecuación es resoluble. Esto, si os fijáis, es bastante fuerte, ya que el hecho de expresar convenientemente las soluciones de una ecuación se reducía simplemente al estudio del grupo de Galois de dicha ecuación, y sobre grupos ya se conocían muchas cosas.

Niels Henrik Abel 

Bien, vamos con el segundo y último paso. El grupo de Galois de una ecuación cualquiera de grado uno, dos, tres o cuatro es siempre resoluble, por lo que siempre podemos expresar las soluciones de dichas ecuaciones en radicales (esto de en radicales es la forma de llamar a la expresión de dichas soluciones, lo que hemos llamado antes expresar convenientemente, no nos asustemos). ¿Y el de una ecuación de grado mayor o igual que 5? Pues…en general no. Es decir, el grupo de Galois de una ecuación cualquiera de grado cinco (o mayor) no es resoluble. Eso es lo que dice elteorema de Abel-Ruffini, también conocido como teorema de imposibilidad de Abel (también al final de este post tenéis algún detalle más matemático de este asunto).

Por tanto, no podemos aspirar a tener una fórmula general que nos dé todas las soluciones de una ecuación cualquiera de grado cinco o superior. Podremos expresar en radicales las soluciones de algunas (las que tengan grupo de Galois asociado resoluble), pero siempre habrá ecuaciones de grado cinco o mayor cuyo grupo de Galois no sea resoluble.

Javier  Rueda Arjona 1A