·Diofanto de Alejandría·

   Diofanto de Alejandría, un antiguo matemático griego que es considerado por muchos el padre del álgebra.

   No se conoce demasiado sobre su vida, y de hecho los historiadores no terminan de ponerse de acuerdo respecto a la fecha en la que vivió, aunque todo parece indicar que fue en los siglos III o IV d.C.

   Según la leyenda uno de sus alumnos escribió en su tumba un epitafio que ha perdurado hasta nuestros días y que se ha convertido en un problema típico de matemáticas y que es perfectamente asequible para alumnos del primer ciclo de Educación Secundaria.

   Transeúnte, ésta es la tumba de Diofanto: es él quien con esta sorprendente distribución te dice el número de años que vivió. Su niñez ocupó la sexta parte de su vida; después, durante la doceava parte su mejilla se cubrió con el primer bozo. Pasó aún una séptima parte de su vida antes de tomar esposa y, cinco años después, tuvo un precioso niño que, una vez alcanzada la mitad de la edad de su padre, pereció de una muerte desgraciada. Su padre tuvo que sobrevivirle, llorándole, durante cuatro años. De todo esto se deduce su edad.

   De él ha llegado hasta nosotros Sobre los números poligonales (o Numeris Multangulis), Porismas (que se cree formaba parte de la Arithmetica), Sobre los números fraccionarios y la Arithmetica.

1.- Descomponer un cuadrado en dos cuadrados.

Formemos un cuadrado de un conjunto cualquiera de aritmos disminuido en tantas unidades como tiene la raiz de 16 unidades, y sea el cuadrado de 2 aritmos menos 4 unidades. Este cuadrado tendrá cuatro cuadrados de aritmo y 16 unidades menos 16 aritmos, que igualaremos a 16 unidades menos un cuadrado de aritmo y sumando a uno y otro lado los téminos negativos y restando los semejantes, resulta que 5 cuadrados de aritmo equivalen a 16 aritmos y, por tanto, 1 airtmo vale 16/5; luego uno de los números es 256/25 y otro 144/25, cuya suma es 400/25, es decir 16 unidades y cada uno de ellos es un cuadrado”

Diofanto resuelve la ecuación.

x ² + x ² = 16

Haciendo y ² = 16 – a ² que identifica con una expresión de la forma (ka – 4) ² y haciendo k = 2 obtiene

y ² = 16 – a ² = (2a – 4) ²

e identificando llega a a = 16/5 de donde x = 16/5 e y = 12/5

  Arithmetica Libro III   Consta de 21 problemas. El más famoso es el 19 en el que por primera vez acude a la geometría para solucionarlo.

2. Descomponer un número dado en dos cubos cuya suma de raíces sea dada.

“Si el número es 370 y la suma de las raíces 10, supongamos que la raíz del primer cubo es 1 aritmo y 5 unidades, o sea: la mitad de la suma de las raíces. Por tanto, la raíz del otro cubo será 5 unidades menos 1 aritmo; luego la suma de los cubos valdrá 30 cuadrados de aritmo más 250 unidades que igualaremos a las 370 unidades del número dado, de donde se deduce que 1 aritmo tiene 2 unidades; la raíz del primer cubo tendrá entonces 7 y la del segundo 3, y, por consiguientes, los cubos serán 343 y 27″

Con la notación actual, Diofanto resuelve el sistema formado por las ecuaciones

x ³ + y ³ = 370
x + y = 10

Para lo que supone que x = aritmo + 5 y que y = 5 – aritmo . (en lo que sigue designaremos el aritmo por a). Sustituyendo estas expresiones en la primera ecuación y desarrollando tendremos:

(a + 5) ³ + (5 – a) ³ = 30 a ² + 250 = 370

y para a = 2 obtiene x = 7, y = 3.

Rubén Méndez Pérez y Salvador Mesas Ibáñez