Ecuaciones de Cardano-Vieta para las ecuaciones de 2º grado.

François Viète

François Viète fue un matemático francés de finales del siglo XVI. Se le considera uno de los principales precursores del álgebra. Fue el primero en representar los parámetros de una ecuación mediante letras.


François Viète también fue conocido en su época como súbdito del rey fiel y competente. Fue consejero privado de los reyes de Francia Enrique III y de Enrique IV.

En 1571, publica una obra de trigonometría, el Canon mathematicus, en el que presenta numerosas fórmulas relacionadas con senos y cosenos. Emplea de modo poco habitual para la época los números decimales. Se trata de las primeras tablas trigonométricas elaboradas desde que lo hicieran los matemáticos árabes en el siglo X.

El teorema de Cardano-Vieta dice:

Para toda ecuación cuadrática de la forma: 

ax^2 + bx + c = 0   de raíces  x1, x2; Se cumple que 

Así por ejemplo tenemos:

• x^2 - 3x + 2 = 0  -> Las soluciones son dos números que multiplicados son 2 y sumados 3. Entonces las soluciones serían x = 1, x = 2.
• x^2 + 11x + 10 = 0 -> Las soluciones son dos números que multiplicados son 10 y sumados -11. Entonces las soluciones serían x = -1, x = -10.

Curiosidades de Cardano-Vieta

Como curiosidades hemos encontrado fórmulas que relacionan los coeficientes y las raíces de una ecuación algebraica. 

Si la ecuación es ∞x^n + a1^n + ... + an-1x + an = 0 y sus raíces son x1, x2, ..., xn, las fórmulas de Cardano-Vieta son:

Además se puede hacer uso de la identidad de Legendre para obtener la diferencia de raíces:

(x1+x2)^2 - (x1-x2)^2 = 4(x1 · x2)

Fraçois Viete

Francois viete fue un matemático francés Se le considera uno de los principales precursores del álgebra .Fue el primero en representar los parámetros de una ecuación mediante letras

 partiendo de consideraciones geométricas y por medio de cálculos trigonométricos que dominaba, descubre el primer producto infinito de la historia de las matemáticas que daba una expresión de π:

En el periodo que va de 1564 a 1568 escribió dos obras, una de astronomía titulada Harmonicon coeleste que no llegó a publicarse y su gran Canon mathematicus seu ad triangula, cuya impresión duró más de ocho años y se publicó en 1579. Las aportaciones de esta obra fueron, entre otras, la utilización sistemática de los números decimales, con empleo de la coma; la aplicación sistemática del álgebra a la trigonometría descubriendo de nuevo la mayor parte de las identidades elementales con fórmulas generales para las expresiones de las funciones; la obtención de fórmulas trigonométricas de conversión del producto de funciones en una suma o una diferencia, o la obtención de lo que hoy se conoce como teorema del coseno.

En su obra Variorum de rebus mathematicis, de 1593, formuló un enunciado equivalente al teorema de la tangente.

Pero su fama le vendría por su contribución al álgebra, con su obra In artem analyticam isagoge, que se publicó por primera vez en Tours en 1591. Sirvió para la generalización del álgebra simbólica, muy parecida a la que después Descartes culminó. Viète utilizaba las vocales para identificar a las incógnitas y las consonantes para nombrar los parámetros conocidos (al contrario que ahora), pero aún utilizaba abreviaturas para identificar operaciones.

Así, por ejemplo, para nombrar la ecuación 2ax² + 3bx - x³ = D hacía lo siguiente: la x la nombraba A; los parámetros a y b los nombraba B y F; al D lo llamaba solido; a la operación de multiplicar, in; el cuadrado, q (de quadratus); el cubo era c (de cubus), y la igualdad era aequatur. Escribía:  B 2 in A q + F 3 in A - A c aequatur D solido.

Abogado francés aficionado a las matemáticas empezó a usar vocales para representar variables  y consonantes para representar constantes.

Esto permitió a los matemáticos representar, por ejemplo, a toda la clase de ecuaciones cuadráticas como

y esto hizo posible que se pudieran discutir técnicas generales para resolver algunas clases de ecuaciones. Tanto que 1590 aproximadamente Vieta realizo avances en los métodos algebraicos, consiguió reducir una cuadrática general a una cuadrática pura utilizando una hábil sustitución. Su ecuación general es expuesta de la siguiente manera "a quadr +B2in A aequantur Z plano" es nuestro días esto se reduciría

De hecho, fue Vieta quien interpretó la cúbica general como una ecuación de la que todos los casos que consideraba Cardano eran ocurrencias particulares. Además, dio un solo método de solución que podía aplicarse a todos los casos. Si bien el simbolismo algebraico de Vieta no es el que usamos actualmente, sí era uno muy parecido. Así, para nosotros, la ecuación general de tercer grado la escribimos como: 

María José Sánchez y Marta Cano

Évariste Galois

Évariste Galois (1811-1832) fue un matemático y político francés.

Su interés por las matemáticas comenzó a los 16 años cuando se inscribió en un curso, al que se presentó y suspendió. Pero sus profesores seguían insistiendo en sus grandes dotes por las matemáticas.

Cuando se iba a presentar para acceder a la Universidad, su padre se quitó la vida, y esto le hizo volver a suspender.

Finalmente, su tercer intento por hacerse notar en el mundo de las matemáticas, fue su presentación a un concurso de matemáticas, para el cual desarrollo su famosa teoría conocida por "Teoría de Galois", pero la mala fortuna estaba de su parte y el profesor que debía entregar el trabajo a los jueces del concurso cayó enfermo y su trabajo en el que demostraba el porqué las ecuaciones de grado quinto o superior no tenían fórmula para resolverla. Ese mismo concurso fue ganado por Abel, matemático que sería después conocido por la misma demostración que realizó Galois.

Tras esto, se alistó en la guardia, la cual le hizo conocer a su amada Stefani, la cual tras varios meses de relación fue conociendo a otros, que serían sus amantes, los cuales se batieron en duelo con Galois y acabaron con su vida a los 21 años.

Antes de morir, Galois escribió una carta a su mejor amigo, en la que desarrollaba toda su teoría, y los pasos por los cuales había llegado a ella.

En este vídeo podemos encontrar más información sobre la desafortunada vida de Galois 

https://docs.google.com/file/d/0B56cckemhg4XNU4tek1FUzJOcmM/edit?pli=1

La teoría de Galois, fue desarrollada usando la teoría de Cuerpos y la teoría de Grupos, y sostiene que no existe fórmula para resolver una ecuación de grado quinto o superior

 La teoría de cuerpos es una rama de la matemática que estudia las propiedades de los cuerpos. Un cuerpo es una entidad matemática para la cual la adición, sustracción, multiplicación y división están bien definidas.

Y por último, Galois utilizó la teoría de grupos estudia las estructuras algebraicas conocidas como grupos. Sus objetivos son, entre otros, la clasificación de los grupos, sus propiedades y sus aplicaciones tanto dentro como fuera de las matemáticas.

Elena Ibáñez Muñoz

Cristina Aguayo Álvarez

1ºBachillerato A

¿Existe una ecuación general de quinto grado?

En matemáticas, se denomina ecuación de quinto grado o ecuación quíntica a una ecuación polinómica en que el exponente de la variable independiente de mayor grado es cinco. Es de la forma general:

donde a, b, c, d, e y f son miembros de un cuerpo (habitualmente el de los números racionales, el de los reales o los complejos), y .

La resolución de ecuaciones polinomicas es un tema al que quien más quien menos se ha acercado en su etapa de estudiante. Todos sabemos cómo resolver una ecuación de primer grado ,también la famosa formula para resolver una ecuación de segundo grado y no muy conocida por muchos la de grado tres y cuatro. Pero ,¿ Por qué dejamos de tener solución general cuando llegamos al grado cinco? Lo que voy a intentar explicar matemáticamente es por qué esta fórmula general no existe para ecuaciones de quinto grado. Y, sin lugar a dudas, los matemáticos protagonistas de esta historia son Évariste Galois y Niels Henrik Abel.

Las matemáticas encargadas de ayudarnos a demostrar que tal fórmula general no existe no son sencillas, y ni mucho menos evidentes. La teoría encargada de echarnos una mano para recorrer este camino será la teoría de grupos, teoría perteneciente a lo que podríamos llamar matemáticas avanzadas, y más concretamente la teoría de Galois. Pero que esto no os asuste, intentaremos hacer el camino lo más llevadero posible para que nadie esté obligado a abandonar a mitad de travesía.

Évariste Galois 

La idea brillante, y la verdadera clave de todo este asunto, fue el descubrimiento de que a cada ecuación polinómica se le podía asignar un cierto grupo (grupo: estructura algebraica que cumple ciertas propiedades), denominado grupo de Galois de la ecuación. No nos interesa saber qué es exactamente un grupo, ni cómo contruir este grupo de Galois en cada caso, simplemente que cada ecuación polinómica está asociada a su grupo de Galois.

Una de las muchas propiedades interesantes que puede tener (o no) un grupo es la solubilidad. Es decir, hay grupos solubles (también llamados resolubles) y grupos que no lo son. La definición de grupo resoluble es algo avanzada (para los interesados está al final del post), pero para continuar leyendo no es necesario conocerla. Lo que sí es interesante saber, y de hecho es uno de los pasos importantes en todo esto, es que Galois demostró que se pueden expresarconvenientemente las soluciones de una ecuación polinómica si y sólo si el grupo de Galois de dicha ecuación es resoluble. Esto, si os fijáis, es bastante fuerte, ya que el hecho de expresar convenientemente las soluciones de una ecuación se reducía simplemente al estudio del grupo de Galois de dicha ecuación, y sobre grupos ya se conocían muchas cosas.

Niels Henrik Abel 

Bien, vamos con el segundo y último paso. El grupo de Galois de una ecuación cualquiera de grado uno, dos, tres o cuatro es siempre resoluble, por lo que siempre podemos expresar las soluciones de dichas ecuaciones en radicales (esto de en radicales es la forma de llamar a la expresión de dichas soluciones, lo que hemos llamado antes expresar convenientemente, no nos asustemos). ¿Y el de una ecuación de grado mayor o igual que 5? Pues…en general no. Es decir, el grupo de Galois de una ecuación cualquiera de grado cinco (o mayor) no es resoluble. Eso es lo que dice elteorema de Abel-Ruffini, también conocido como teorema de imposibilidad de Abel (también al final de este post tenéis algún detalle más matemático de este asunto).

Por tanto, no podemos aspirar a tener una fórmula general que nos dé todas las soluciones de una ecuación cualquiera de grado cinco o superior. Podremos expresar en radicales las soluciones de algunas (las que tengan grupo de Galois asociado resoluble), pero siempre habrá ecuaciones de grado cinco o mayor cuyo grupo de Galois no sea resoluble.

Javier  Rueda Arjona 1A

Luca Pacioli y Lagrange

LUCA PACIOLI

Luca Pacioli, (Sansepolcro, 7), fue un fraile franciscano y matemático italiano, precursor del cálculo de probabilidades.

Analizó sistemáticamente el método contable de la partidaq doble usado por los comerciantes venecianos en su obra Summa de aritmetrica, geometria, proportioni et proportionalita (Venecia, 1494). Es destacable que en la solución de uno de los problemas, utilizara una aproximación logarítmica un siglo antes que John Napier.

Su obra más divulgada e influyente es De Divina Proportione (De la Divina Proporción) término relativo a la razón o proporción ligada al denominado número áureo, escrita en Milán entre1496 y 1498, y que trata también, en su primera parte, de los polígonos y la perspectiva usada por los pintores del Quattrocento (Compendio Divina Proportione); en su segunda, de las ideas arquitectónicas de Vitruvio de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita precipitevolissimevolmente ); y en su tercera, de los sólidos platónicos o regulares (De quinque corporibus regularibus). Para ilustrarlo encargó dibujos a Leonardo da Vinci, que en la época formaba parte de la corte milanesa de Ludovico Sforza (il Moro)

JOSEPH-LOUIS LAGRANGE

Joseph-Louis Lagrange, (25 de enero de 1736 en Turín - 10 de abril de 1813 en París) fue un físico, matemático y astrónomo italiano que después vivió en Prusia y Francia. Lagrange trabajó para Federico II de Prusia, en Berlín, durante veinte años. Lagrange demostró el teorema del valor medio, desarrolló la mecánica Lagrangiana y tuvo una importante contribución en astronomía.

En cálculo diferencial, el teorema de valor medio (de Lagrange), teorema de los incrementos finitos, teorema de Bonnet-Lagrange o teoría del punto medio es una propiedad de las funciones derivables en un intervalo. Algunos matemáticos consideran que este teorema es el más importante de cálculo. El teorema no se usa para resolver problemas matemáticos; más bien, se usa normalmente para demostrar otros teoremas. El teorema de valor medio puede usarse para demostrar el teorema de Taylor ya que es un caso especial.
Este teorema lo formuló Lagrange.El teorema del valor medio de Lagrange de hecho es una generalización del teorema de Rolle que dice que si una función es definida y continua [a, b], diferenciable en el intervalo abierto (a, b), y toma valores iguales en los extremos del intervalo – en otras palabras, f(a) = f(b) – entonces existe al menos algún punto c en el intervalo (a, b) tal que la tangente a la curva en c es horizontal, es decir f'(c) = 0.





DEMOSTRACIÓN:
El conocimiento del significado de la derivada de una función en un punto, y de la ecuación punto-pendiente de una recta, permiten deducir que la ecuación de la recta tangente en un punto de la curva es:

Donde los pares de puntos y son una pareja cualquiera de puntos de la curva. Vamos a demostrar que, una vez conocida una pareja de puntos de una curva continua y derivable, existe un punto c contenido en el intervalo (a, b) tal que la pendiente en dicho punto es paralela a la recta que une los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)). Definimos una función:

Puesto que f es continua en [a, b] y diferenciable en (a, b), lo mismo se puede decir de g. Además g satisface las condiciones del Teorema de Rolle ya que:

Por el Teorema de Rolle, como g es derivable en (a, b) y g(a) = g(b), existe un c perteneciente (a, b) tal que g'(c) = 0, y por tanto:

y así

como queríamos demostrar.

Manuel Jesus Peñalver Perez

Número perdido de lost

Este trabajo esta basado en las serie perdidos y los números que aparecen en ella.

Para entender el trabajo hay que saber cuál es el polinomio de Shaw-Basho que es el siguiente:

(Este polinomio predice cuando llegará el fin del mundo).

Y lo que hay que hacer ahora es ir dándole valores:

Para x=0 , toma el valor 4
Para x=1, toma el valor 12,
…..

Si continuamos obtenemos la secuencia:

4, 12, 35, 89, 213, 511, 1194, 2622, 5346, 10150, 18093, …

De momento no hay nada raro, pero veamos que pasa cuando obtenemos la secuencia que resulta de restar a cada número el anterior:

8, 23, 54, 124, 298, 683, 1428, 2624, 4804, 7943, …

Realizamos la operación y restamos a cada número el anterior, y obtenemos las siguientes secuencias. Como veréis, llegamos a un punto en el que todos los números son 0. Curioso

SECUENCIA número 1: 4, 12, 35, 89, 213, 511, 1194, 2622, 5346, 10150, 18093…
SECUENCIA número 2: 8, 23, 54, 124, 298, 683, 1428, 2624, 4804, 7943, 12458…
SECUENCIA número 3: 15, 31, 70, 174, 385, 745, 1296, 2080, 3139, 4515, 6250…
SECUENCIA número 4: 16, 39, 104, 211, 360, 551, 784, 1059, 1376, 1735…
SECUENCIA número 5: 23, 65, 107, 149, 191, 233, 275, 317, 359…
SECUENCIA número 6: 42, 42, 42, 42, 42, 42, 42, 42, 42, 42…
SECUENCIA número 7: 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0…
SECUENCIA número 8: 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0…
SECUENCIA número 9: 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0…

Ahora si te fijas los primeros números de cada filas son: 4,8,15,16,23,42.

Pues estos números son los números chungos que son los número que provocan los problemas en la serie perdidos y se repiten a lo largo de los capítulos.

Cristian Manuel Galán Machuca 1ºA

Binomio de Newton y el triángulo de Tartaglia

Binomio de Newton y el triángulo de Tartaglia

El binomio de Newton es una fórmula que se utiliza para hacer el desarrollo de la potencia de un binomio elevado a una potencia cualquiera de exponente natural. Es decir, se trata de una fórmula para desarrollar la expresión:

(a+b)^n

Es conveniente hacer observar aquí que a y b pueden ser números, letras o expresiones algebraicas cuales-quiera. Así, también podremos desarrollar, por ejemplo, expresiones como:

(3x+5)n,(4xz+6y)n,(6a4b)n, etcétera.

Veamos el desarrollo de algunas potencias de a+b:

(a+b)0= 1

(a+b)1=a+b

Cuadrado de una suma:

(a+b)2= (a+b)(a+b) =a2+ 2ab+b2

Cubo de una suma:

(a+b)3= (a+b)2(a+b) = (a2+ 2ab+b2)(a+b) =a3+ 3a2b+ 3ab2+b3

(a+b)4= (a+b)3(a+b) = (a3+ 3a2b+ 3ab2+b3)(a+b)=a4+ 4a3b+ 6a2b2+ 4ab3+b4

Utilizando el ejemplo anterior, si a= 2x y b= 3:

(2x+3)4= (2x)4+4(2x)33+6(2x)232+4(2x)33+34= 16x4+ 96x3+ 216x2+ 216x+ 81

Observa además que las potencias del primer sumando del binomio,a, comienzan por n y en cada sumando van disminuyendo de uno en uno hasta llegar a 0. Por el contrario, las potencias del segundo sumando del binomio, b, empiezan en 0 y van aumentando de uno en uno hasta llegar a n.

Observa que los coeficientes de cada polinomio resultante siguen la siguiente secuencia:

                                                    1

                                                  1 1

                                                 1 2 1

                                                1 3 3 1

                                               1 4 6 4 1

La estructura en triángulo anterior recibe el nombre de Triángulo de Pascal o Triángulo de Tartaglia y su método de construcción es el siguiente:

Primer número: 1

Números siguientes: la suma de los dos que se encuentran inmediatamente por encima.

Último número: 1.

Observa también, además de que cada fila empiece y termine por 1, que los números que aparecen forman una fila simétrica, o sea, el primero es igual al último, el segundo igual al penúltimo, el tercero igual al antepenúltimo, etc.

De esta forma sería fácil hallar

(a+b)5: La fila siguiente del triángulo sería:

1 5 10 10 5 1

Los coeficientes, según lo comentado anteriormente seguirían la siguiente secuencia:

a5b0 a4b1 a3b2 a2b3 a1b4 a0b5 ; o sea: a5 a4b a3b2 a2b3 ab4 b5

Por tanto:

(a+b)5=a5+ 5a4b+ 10a3b2+ 10a2b3+ 5ab4+b5

La construcción del triángulo de tartaglia no es así por capricho, o por casualidad. Sino que es consecuencia de la definición de número combinatorio.                            

Algunas propiedades

El stick de hockey: Cualquier diagonal que empiece de un extremo de la pirámide y de la longitud que sea, cumple que la suma de sus números se encuentra justo debajo.

Potencias de 11:  1-2-1 ..= 11² 

Cuando aparecen más de dos términos: 1-5-10-10-5-1à

 1-(5+1)-(0-1)-0-5-1=11^6

Número primo: Si la fila empieza por uno primo, todos son divisibles por ese número como en la fila 7.

Suma de filas: La suma de los elementos de cualquier fila es el resultado de elevar 2 al número que define a esa fila.

2⁰ = 1
2¹ = 1+1 = 2
2² = 1+2+1 = 4
2³ = 1+3+3+1 = 8
2⁴ = 1+4+6+4+1 = 16

Alfonso Extremera Fernández
Sergio Rosales Serrano