Binomio de Newton y el triángulo de Tartaglia
El binomio de Newton es una fórmula que se utiliza para hacer el desarrollo
de la potencia de un binomio elevado a una potencia cualquiera de exponente
natural. Es decir, se trata de una fórmula para desarrollar la expresión:
(a+b)^n
Es conveniente hacer observar aquí que a y b pueden ser
números, letras o expresiones algebraicas cuales-quiera. Así, también podremos
desarrollar, por ejemplo, expresiones como:
(3x+5)n,(4xz+6y)n,(6a4b)n, etcétera.
Veamos el desarrollo de algunas potencias de a+b:
(a+b)0= 1
(a+b)1=a+b
Cuadrado de una suma:
(a+b)2= (a+b)(a+b) =a2+ 2ab+b2
Cubo de una suma:
(a+b)3= (a+b)2(a+b) = (a2+ 2ab+b2)(a+b) =a3+ 3a2b+
3ab2+b3
(a+b)4= (a+b)3(a+b) = (a3+ 3a2b+
3ab2+b3)(a+b)=a4+ 4a3b+
6a2b2+ 4ab3+b4
Utilizando el ejemplo anterior, si a= 2x y b= 3:
(2x+3)4= (2x)4+4(2x)33+6(2x)232+4(2x)33+34=
16x4+ 96x3+ 216x2+
216x+ 81
Observa además que las potencias del primer sumando del
binomio,a, comienzan por n y en cada sumando van disminuyendo de uno en uno
hasta llegar a 0. Por el contrario, las potencias del segundo sumando del
binomio, b, empiezan en 0 y van aumentando de uno en uno hasta llegar a n.
Observa que los coeficientes de cada polinomio resultante
siguen la siguiente secuencia:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1
4 6 4 1
La estructura en triángulo anterior recibe el nombre de Triángulo
de Pascal o Triángulo de Tartaglia y su método de construcción es el siguiente:
Primer número: 1
Números siguientes: la suma de los dos que se encuentran
inmediatamente por encima.
Último número: 1.
Observa también, además de que cada fila empiece y termine
por 1, que los números que aparecen forman una fila simétrica, o sea, el
primero es igual al último, el segundo igual al penúltimo, el tercero igual al
antepenúltimo, etc.
De esta forma sería fácil hallar
(a+b)5: La fila
siguiente del triángulo sería:
1 5 10 10 5 1
Los coeficientes, según lo comentado anteriormente seguirían
la siguiente secuencia:
a5b0 a4b1 a3b2 a2b3 a1b4 a0b5 ; o sea: a5 a4b
a3b2 a2b3 ab4
b5
Por tanto:
(a+b)5=a5+ 5a4b+
10a3b2+ 10a2b3+ 5ab4+b5
La construcción del triángulo de tartaglia no es así por
capricho, o por casualidad. Sino que es consecuencia de la definición de número
combinatorio.
Algunas propiedades
El stick de hockey: Cualquier diagonal que empiece de un
extremo de la pirámide y de la longitud que sea, cumple que la suma de sus
números se encuentra justo debajo.
Potencias de 11: 1-2-1
..= 11²
Cuando
aparecen más de dos términos: 1-5-10-10-5-1à
1-(5+1)-(0-1)-0-5-1=11^6
Número
primo: Si la fila empieza por uno primo, todos son divisibles por ese número
como en la fila 7.
Suma de
filas: La suma de los elementos de cualquier fila es el resultado de elevar 2
al número que define a esa fila.
Alfonso Extremera Fernández
Sergio Rosales Serrano
Sergio Rosales Serrano
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