Actividades Mates Primero Bachillerato A. IES Alfonso XI

lunes, 9 de diciembre de 2013

·Diofanto de Alejandría·

Diofanto de Alejandría, un antiguo matemático griego que es considerado por muchos el padre del álgebra.

No se conoce demasiado sobre su vida, y de hecho los historiadores no terminan de ponerse de acuerdo respecto a la fecha en la que vivió, aunque todo parece indicar que fue en los siglos III o IV d.C.

Según la leyenda uno de sus alumnos escribió en su tumba un epitafio que ha perdurado hasta nuestros días y que se ha convertido en un problema típico de matemáticas y que es perfectamente asequible para alumnos del primer ciclo de Educación Secundaria.

Transeúnte, ésta es la tumba de Diofanto: es él quien con esta sorprendente distribución te dice el número de años que vivió. Su niñez ocupó la sexta parte de su vida; después, durante la doceava parte su mejilla se cubrió con el primer bozo. Pasó aún una séptima parte de su vida antes de tomar esposa y, cinco años después, tuvo un precioso niño que, una vez alcanzada la mitad de la edad de su padre, pereció de una muerte desgraciada. Su padre tuvo que sobrevivirle, llorándole, durante cuatro años. De todo esto se deduce su edad.

De él ha llegado hasta nosotros Sobre los números poligonales (o Numeris Multangulis), Porismas (que se cree formaba parte de la Arithmetica), Sobre los números fraccionarios y la Arithmetica.

1.- Descomponer un cuadrado en dos cuadrados.

Formemos un cuadrado de un conjunto cualquiera de aritmos disminuido en tantas unidades como tiene la raiz de 16 unidades, y sea el cuadrado de 2 aritmos menos 4 unidades. Este cuadrado tendrá cuatro cuadrados de aritmo y 16 unidades menos 16 aritmos, que igualaremos a 16 unidades menos un cuadrado de aritmo y sumando a uno y otro lado los téminos negativos y restando los semejantes, resulta que 5 cuadrados de aritmo equivalen a 16 aritmos y, por tanto, 1 airtmo vale 16/5; luego uno de los números es 256/25 y otro 144/25, cuya suma es 400/25, es decir 16 unidades y cada uno de ellos es un cuadrado”

Diofanto resuelve la ecuación.

x² + x² = 16

Haciendo y² = 16 – a² que identifica con una expresión de la forma (ka – 4)² y haciendo k = 2 obtiene

y² = 16 – a² = (2a – 4)²

e identificando llega a a = 16/5 de donde x = 16/5 e y = 12/5

Arithmetica Libro III Consta de 21 problemas. El más famoso es el 19 en el que por primera vez acude a la geometría para solucionarlo.

2. Descomponer un número dado en dos cubos cuya suma de raíces sea dada.

“Si el número es 370 y la suma de las raíces 10, supongamos que la raíz del primer cubo es 1 aritmo y 5 unidades, o sea: la mitad de la suma de las raíces. Por tanto, la raíz del otro cubo será 5 unidades menos 1 aritmo; luego la suma de los cubos valdrá 30 cuadrados de aritmo más 250 unidades que igualaremos a las 370 unidades del número dado, de donde se deduce que 1 aritmo tiene 2 unidades; la raíz del primer cubo tendrá entonces 7 y la del segundo 3, y, por consiguientes, los cubos serán 343 y 27″

Con la notación actual, Diofanto resuelve el sistema formado por las ecuaciones

x³ + y³ = 370
x + y = 10

Para lo que supone que x = aritmo + 5 y que y = 5 – aritmo . (en lo que sigue designaremos el aritmo por a). Sustituyendo estas expresiones en la primera ecuación y desarrollando tendremos:

(a + 5)³ + (5 – a)³ = 30 a² + 250 = 370

y para a = 2 obtiene x = 7, y = 3.

Rubén Méndez Pérez y Salvador Mesas Ibáñez

Representación de la recta real del número de oro

·Representación de la recta real del número de oro·

-El número de oro:

El número áureo o de oro (también llamado razón extrema y media, razón áurea, razón dorada, media áurea, proporción áurea y divina proporción) representado por la letra griega φ (fi) (en minúscula) o Φ (fi) (en mayúscula), en honor al escultor griego Fidias, es un número irracional:

Se trata de un número algebraico irracional (su representación decimal no tiene período) que posee muchas propiedades interesantes y que fue descubierto en la antigüedad, no como “unidad” sino como relación o proporción entre dos segmentos de una recta. Esta proporción se encuentra tanto en algunas figuras geométricas como en la naturaleza: en las nervaduras de las hojas de algunos árboles, en el grosor de las ramas, en el caparazón de un caracol, en los flósculos de los girasoles, etc.

-Representación:

Para la representación del número de oro, podemos construir una circunferencia de radio 1, que sea tangente a la recta real en el punto 1, trazamos un segmento desde el punto cero, que pasando por el centro de la circunferencia llegue el punto de corte con la circunferencia. Con radio de longitud este segmento trazamos una circunferencia con centro en 0. El punto de corte de esta circunferencia con la recta real será el valor de

Rubén Méndez Pérez y Salvador Mesas Ibáñez

domingo, 8 de diciembre de 2013

Niccolo Fontana

Niccolo Fontana

Nació en Brescia República de Venecia y murió el 13 de Diciembre de 1557 en Venecia. Apodado Tartaglia (tartamudo) debido a que en su niñez recibió una herida.

Fue el descubridor de un método para resolver ecuaciones de tercer grado.

Comenzó a escribir su tratado general de número y medidas, en él recopila las reglas del álgebra, la geometría y la aritmética y también los de la física. Recoge, además, numerosos ejemplos de las matemáticas aplicadas a juegos de azar.

Realizó los primeros estudios de aplicación de las matemáticas a la artillería en el cálculo de las trayectorias de los proyectiles, así como por la expresión matemática para el cálculo del volumen de un tetraedro cualquiera en función de las longitudes de sus lados.

Resolución de la ecuación de tercer grado:

Sea una ecuación de tercer grado cualquiera, por ejemplo x³— 5x²+ 17x — 13 = 0. Su resolución, según Tartaglia, es la siguiente:

Se reduce a la forma X³+ pX + q = 0, mediante el cambio de variable oportuno.

En este caso X = x + 2.

La ecuación anterior se convierte en:

X³—18X—35 = 0 (I)

Haciendo un nuevo cambio de variable: X = u + v, y teniendo en cuenta que:

(u + v)³= u³+ 3uv v (u + v) + v³, resulta:

X³=u³+ 3u.v(u+v)+v³=u³+3uvX+v3X³-3uvX-(u³+v³) (II)

Comparando las ecuaciones (I) y (II) se llega a:

3u v= 18
u³+ v³= 35

El sistema anterior se puede resolver de la siguiente manera:

(u³+ v³)²= 35² ==> u⁶+2u³v³+ v⁶= 1225 ==>

u⁶- 2u³v³+ 4u³v³+ v⁶=1225

==> (u³—v³)²= 1225-4u³. v³==> (u³—v³)²=

1225—4.(18/3)³=1225-864=361 ==> u³-v³=19

Por tanto, el sistema queda reducido a:

u³+v³=35
u³—v³=19
Resolviéndolo, se obtiene u = 3, y = 2. Deshaciendo los cambios de variable:

X = u + v = 5 x = X - 2 =3

Por tanto, x = 3 es una raíz de la ecuación inicial de tercer grado, por lo que se puede expresar:

(x —3) (x²+ 9x + 21) = 0

Resolviendo la ecuación de segundo grado se obtienen las otras dos soluciones. En este caso existen para ella soluciones complejas, concretamente:

x = —9/2 + 3/2 i, x = —9/2 — 3/2 i.

Tartaglia también creó la expresión matemática para el cálculo del volumen de un tetraedro cualquiera en función de las longitudes de sus lados, la llamada fórmula de Tartaglia, una generalización de la fórmula de Herón (usada para el cálculo del área de un triángulo).

Aquí presentamos la fórmula:

ARS MAGNA

Es un importante libro de matemáticas escrito por Gerolamo Cardano en 1545. Contiene la primera solución publicada para las ecuaciones de 3º grado mediante un método creado por los matemáticos Tartaglia y Scipione del Ferro y el primer cálculo explícito con números complejos. Contiene también la resolución de la ecuación de 4º grado debida a Antonio Ferrari.

Ana Jiménez Serrano
Marta López González

Logaritmos

Definición:

En matemáticas, el logaritmo de un número, en una base de logaritmo determinada es el exponente al cual hay que elevar la base para obtener dicho número. Por ejemplo, el logaritmo de 1000 en base 10 es 3, porque 1000 es igual a 10 a la potencia 3: 1000 = 103 = 10×10×10.

De la misma manera que la operación opuesta de la suma es la resta y la de la multiplicación la división, el cálculo de logaritmos es la operación inversa a la exponenciación de la base del logaritmo.

Historia:

El método de cálculo mediante logaritmos fue propuesto por primera vez, públicamente, por John Napier, en 1614, en su libro titulado Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio. Joost Bürgi, un matemático y relojero suizo al servicio del duque de Hesse-Kassel, concibió por primera vez los logaritmos; sin embargo, publicó su descubrimiento cuatro años después que Napier. La inicial resistencia a la utilización de logaritmos fue cambiada por Kepler, por el entusiasta apoyo de su publicación y la impecable y clara explicación de cómo funcionaban.

Este método contribuyó al avance de la ciencia, y especialmente de la astronomía, facilitando la resolución de cálculos muy complejos. Los logaritmos fueron utilizados habitualmente en geodesia, navegación marítima y otras ramas de la matemática aplicada, antes de la llegada de las calculadoras y computadoras. Además de la utilidad en el cálculo, los logaritmos también ocuparon un importante lugar en las matemáticas más avanzadas; el logaritmo natural presenta una solución para el problema de la cuadratura de un sector hiperbólico ideado por Gregoire de Saint-Vincent en 1647.

Napier no usó una base tal como ahora se entiende pero, sus logaritmos, como factor de escala, funcionaban de manera eficaz con base 1/e. Para los propósitos de interpolación y facilidad de cálculo, eran útiles para hallar la relación r en una serie geométrica tendente a 1. Napier escogió r = 1 - 10−7 = 0,999999 (Bürgi eligió r = 1 + 10−4 = 1,0001). Los logaritmos originales de Napier no tenían log 1 = 0, sino log 107 = 0. Así, si N es un número y L es el logaritmo, Napier calcula: N = 107(1 − 10−7)L. Donde (1 − 10−7)107 es aproximadamente 1/e, haciendo L/107 equivalente a log1/e N/107. Véase logaritmo neperiano.

Inicialmente, Napier llamó números artificiales a los logaritmos y números naturales a los antilogaritmos. Más tarde, Napier usa la palabra logaritmo en el sentido de un número que indica una proporción: λόγος (logos) el sentido de proporción, y ἀριθμός (arithmos) significado número, y se define, literalmente, como un número que indica una relación o proporción. Se refiere a la proposición que fue hecha por Napier en su teorema fundamental, que establece que la diferencia de dos logaritmos determina la relación de los números a los cuales corresponden, de manera que una progresión aritmética de logaritmos corresponde a una progresión geométrica de números. El término antilogaritmo fue introducido a finales de siglo xvii y, aunque nunca se utilizó ampliamente en matemáticas, perduró en muchas tablas, hasta que cayó en desuso.

¿Por qué se empezaron a usar los logaritmos?

Los logaritmos se inventaron alrededor de 1590 por John Napier (1550-1617).

Su enfoque de los logaritmos era muy diferente al nuestro; se basaba en la relación entre secuencias aritméticas y geométricas y no en la actual como función inversa (recíproca) de las funciones exponenciales. La tablas de Napier,publicadas en 1614, contenían los llamados logaritmos naturales y eran algo difíciles de usar. Su importancia para el cálculo fue inmediatamente reconocida y alrededor de 1650 se imprimían en lugares tan lejanos como China. Dichas tablas siguieron siendo una poderosa herramienta de cálculo hasta el advenimiento de las calculadoras manuales de bajo precio alrededor de 1972, lo que ha disminuido su importancia como instrumento de cálculo, pero no su importancia teórica. Un efecto colateral de la invención de los logaritmos fue la popularización de la notación del sistema decimal para los números reales.

Manuel Nieto Arjona

Manuel Bravo Santiago

viernes, 6 de diciembre de 2013

Escalas logarítmicas

Definición y explicación

Una escala logarítmica es una escala de medida que utiliza el logaritmo de una cantidad física en lugar de la propia cantidad. La presentación de datos en una escala logarítmica puede ser útil cuando los datos cubren una amplia gama de valores - el logaritmo los reduce a un rango más manejable.

Las escalas logarítmicas se definen en función de las potencias de la cantidad subyacente (base), o se tiene que estar de acuerdo en medir la cantidad en unidades fijas. Las bases de logaritmos más empleadas son 10 (base de los logaritmos decimales) y el número e (base de los logaritmos naturales o neperianos).

Si la magnitud a representar no es una potencia entera de la base de logaritmos empleada, para representar dicha medida en la escala logarítmica habrá que añadirle una constante aditiva.

$log10=1\ ;\ log 100=2\ ;$

$log40=log10 \ +\ log4 \ =\ 1\ +\ 0,60\ =\ 1,60$

La base de los logaritmos también tiene que ser especificada, a menos que el valor de la escala se considere como una magnitud dimensional expresada en unidades logarítmicas genéricas (de base indefinida).

(escala logarítmica de base 10, los intervalos 10-20 y 10-30 son equivalentes respectivamente a los intervalos 1-2 y 1-3)

Ejemplos de escalas logarítmicas

- Escala sismológica de Richter

Escala logarítmica que asigna un número para cuantificar la energía que libera un terremoto.

$A\,$ = amplitud de las ondas en milímetros, tomada directamente en el sismograma.

$\Delta t\,$ = tiempo en segundos desde el inicio de las ondas P (Primarias) al de las ondas S (Secundarias).

$M\,$ = magnitud arbitraria pero constante a terremotos que liberan la misma cantidad de energía.

- Decibelios

Se suele emplear para relacionar magnitudes acústicas, pero también es frecuente encontrar medidas en decibelios de otras magnitudes, por ejemplo eléctricas o lumínicas.

Donde $W_{1}$ es la potencia a estudiar, en vatios, $W_{0}$ es el valor de referencia, igual a $10^{-12}$ $vatios/m^{2}$ .

0 -> Umbral de percepción acústica; 200-> Bombas como Hiroshima o Nagashaki.

- pH

Definido como el opuesto del logaritmo en base 10 de la actividades de los iones hidrógeno.

La escala de pH va de 0 a 14 en disolución acuosa, siendo ácidas las disoluciones con pH menores a 7 (el valor del exponente de la concentración es mayor, porque hay más iones en la disolución) y alcalinas las que tienen pH mayores a 7. El pH = 7 indica la neutralidad de la disolución (cuando el disolvente es agua). En productos de limpieza, el pH neutro se considera 5,5 debido a la piel humana.

Realizado por: Francisco Martín Bayona y Noelia Pérez Mora.

sábado, 30 de noviembre de 2013

Paolo Ruffini

Paolo Ruffini (1765 – 1822) fue un matemático, profesor y médico italiano.

Nació el 22 de septiembre de 1765 en Valentano y murió el 10 de mayo de 1822 en Módena. De niño parecía destinado a la carrera religiosa. Entró en la universidad de Módena en 1783 para estudiar matemáticas, medicina, filosofía y literatura.
Ruffini impartió un curso sobre los fundamentos del análisis durante el curso 1787-88 cuando todavía era estudiante. Finalmente, el 9 junio de 1788 Ruffini se graduó en filosofía, medicina y cirugía. Poco después consiguió su grado en matemáticas.
El 15 de octubre de 1788, fue nombrado profesor de fundamentos de análisis. Después, Ruffini fue elegido catedrático de Elementos de Matemáticas en 1791. También, en 1791, obtuvo la licencia para ejercer la medicina en Módena.
Paolo Ruffini es conocido como el descubridor del llamado método de Ruffini que permite hallar los coeficientes del polinomio que resulta de la división de un polinomio cualquiera por el binomio x-a.

En matemáticas, la regla de Ruffini facilita el cálculo rápido de la división de cualquier polinomio entre un binomio de la forma $(x-r)\$ .La regla de Ruffini permite asimismo localizar las raíces de un polinomio y factorizarlo en binomios de la forma $(x-r)\$ (siendo r un número entero).

Algoritmo

La Regla de Ruffini establece un método para división del polinomio

$P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$

entre el binomio

$Q(x)=x-r\,\!$

para obtener el cociente

$R(x)=b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+\cdots+b_1x+b_0$

y el resto

$s. \!$

1. Se trazan dos líneas a manera de ejes y se escriben los coeficientes de P(x), ordenados y sin omitir términos nulos.
Se escribe la raíz r del lado izquierdo y el primer coeficiente en el renglón inferior (a_n):

$\begin{array}{c|ccccc} {} & a_n & a_{n-1} & \dots & a_1 & a_0 \\ r & {} & {} & {} & {} & {} \\ \hline {} & a_n & {} & {} & {} & {} \\ {} & =b_{n-1} & {} & {} & {} & {} \\ \end{array}$

2. Se multiplica (a_n) por r y se escribe debajo de a_n-1:

$\begin{array}{c|ccccc} {} & a_n & a_{n-1} & \dots & a_1 & a_0 \\ r & {} & b_{n-1}\,r & {} & {} & {} \\ \hline {} & a_n & {} & {} & {} & {} \\ {} & =b_{n-1} & {} & {} & {} & {} \\ \end{array}$

3. Se suman los dos valores obtenidos en la misma columna:

$\begin{array}{c|ccccc} {} & a_n & a_{n-1} & \dots & a_1 & a_0 \\ r & {} & b_{n-1}\,r & {} & {} & {} \\ \hline {} & a_n & a_{n-1} + b_{n-1}\,r & {} & {} & {} \\ {} & =b_{n-1} & =b_{n-2} & {} & {} & {} \\ \end{array}$

4. El proceso se repite:

$\begin{array}{c|ccccc} {} & a_n & a_{n-1} & \dots & a_1 & a_0 \\ r & {} & b_{n-1}\,r & \dots & b_1\,r & b_0\,r \\ \hline {} & a_n & a_{n-1} + b_{n-1}\,r & \dots & a_1 + b_1\,r & a_0 + b_0\,r \\ {} & =b_{n-1} & =b_{n-2} & \dots & =b_0 & =s \\ \end{array}$

Los valores b son los coeficientes del polinomio resultante $R(x) \!$ de grado uno menos que el grado de $P(x) \!$ . El residuo es $s. \!$

Ejemplo

División de

$P(x)=2x^3+3x^2-4\,\!$

entre

$Q(x)=x+1.\,\!$

utilizando la regla de Ruffini.

1. Se escribe $Q(x)=x+1=x-(-1)\,\!$ y el primer coeficiente (2) en el primer renglón:

$\begin{array}{c|cccc} {} & 2 & 3 & 0 & -4 \\ -1 & {} & {} & {} & {} \\ \hline {} & 2 & {} & {} & {} \\ \end{array}$

2. Multiplicando por la raíz r(=-1):

$\begin{array}{c|rrrr} {} & 2 & 3 & 0 & -4 \\ -1 & {} & {-2} & {} & {} \\ \hline {} & 2 & {} & {} & {} \\ \end{array}$

3. Sumando la columna:

$\begin{array}{c|rrrr} {} & 2 & 3 & 0 & -4 \\ -1 & {} & {-2} & {} & {} \\ \hline {} & 2 & {1} & {} & {} \\ \end{array}$

4. El procedimiento se repite hasta obtener el residuo:

$\begin{array}{c|rrrr} {} & 2 & 3 & 0 & -4 \\ -1 & {} & {-2} & {-1} & {1} \\ \hline {} & 2 & {1} & {-1} & {-3} \\ {} & \mathrm{Coef.} & {} & {} & \mathrm{Resto} \end{array}$

Si el polinomio original = divisor×cociente+resto, entonces

$P(x)=Q(x)R(x)+s\,\!$ , donde

$R(x) = 2x^2+x-1\,\!$ y $s=-3.\,\!$

Sin embargo, no fue ésta su mayor contribución al desarrollo de la matemática. Hacia 1805 elaboró una demostración de la imposibilidad de la solución general de las ecuaciones algebraicas de grados quinto y superiores, aunque cometió ciertas inexactitudes que serían corregidas por el matemático noruego Niels Henrik Abel.

Realizado por: Lidia Serrano Pérez y Miranda García Torres

martes, 26 de noviembre de 2013

Gerolamo Cardano.

Gerolamo Cardano procedente de Italia fue un matemático italiano del Renacimiento, astrólogo y filosofo.
Destaca por sus trabajos de álgebra. Publicó las soluciones a las ecuaciones de tercer y cuarto grado.

La ecuación de 3º grado se resuelve por el llamado Método de Cardano que es un método para resolver cualquier ecuación de dicho grado.

Para resolver esta ecuación, como ya hemos visto se puede hacer por Ruffini o por este método. Hay que tener en cuenta:

A continuación un ejemplo :

Realizado por:
María Muñoz y Jesica Rosales