Sobre las Fracciones Continuas

Antes de nada...

Empezaremos con la definición: Una fracción continua simple es aquella que tiene la forma siguiente:

Los numeradores son todos iguales a 1, y los coeficientes a_i, 1 ≤ i ≤ n son números naturales y a₀ es la parte entera de la fracción (mayor entero menor que la fracción). Esta forma (fracción de múltiples barras) es poco práctica, por eso se pensó en otra notación, menos complicada. La más aceptada es: [a₀; a₁, a_2, a₃,…, a_n]

¿Cómo obtener una fracción continua?

Las fracciones continuas se estudian mediante el proceso de la división reiterada, de la determinación de divisores de los números involucrados, en particular del máximo común divisor de diferentes números. En las notas que siguen, comenzamos mediante una introducción en la que exponemos el Algoritmo de Euclides para la determinación del máximo común divisor (MCD) de varios números enteros. Toda fracción continua simple finita representa un número racional y, recíprocamente, todo número racional representa a una fracción continua simple finita. Pongamos algunos ejemplos de fracciones continuas simples finitas, e infinitas.

Fracción simple finita:

¿Por qué la importancia de las fracciones continuas?   

La representación de los números reales en forma decimal ofrece ciertos problemas cuando se trata de números decimales periódicos o de números irracionales, los cuales necesitan una secuencia infinita de dígitos. Las fracciones continuas permiten una representación de los números reales, tanto racionales como irracionales, de una forma elegante y precisa.

Algo de historia y aplicaciones

Las fracciones continuas, tan presentes en la historia de las matemáticas, están en la actualidad prácticamente olvidadas, especialmente en las aulas de Secundaria. Si acaso aparecen es como mera “gimnasia algebraica”.

Pero son uno de los temas más interesantes dentro de la teoría de números, así como también uno de los más antiguos. Su origen se remonta a la antigua Grecia, Euclides (330 a.C – 275 a.C) estudió por primera vez este tipo particular de fracciones en el Libro 8 de los Elementos.

Históricamente se utilizan las fracciones continuas desde la antigüedad tanto para aproximar números irracionales como para resolver ecuaciones diofánticas (ecuaciones con coeficientes y soluciones enteras).

Aparecen en Europa en el siglo XVI, utilizándose en principio para la aproximación de raíces cuadradas de diferentes números. Adquirieron un amplio desarrollo en Francia e Inglaterra durante el siglo XVII, con los trabajos de Pierre de Fermat (1601-1665), de William Brouncker (1620-1684) y de John Wallis (1616-1703), habiendo sido utilizadas también en la práctica en la solución de diferentes problemas, como por ejemplo, en los trabajos sobre determinación de engranajes en maquinas realizados por Christian Huygens (1629-1695) o en problemas de recubrimientos. El estudio de la fracciones continuas adquirió un espectacular desarrollo en los siglos XVIII y XIX, donde prácticamente fueron utilizadas por todos los grandes matemáticos de esa época.

¿Sigues creyendo en la nula importancia de los números en nuestro día a día? Quizás el anterior enlace te haga cambiar de idea. "Number is the essence of all things" - Pitágoras.

Noelia Pérez Mora y Francisco Martín Bayona.