Fractales clásicos: El triángulo de Sierpinski

Un fractal es un objeto geométrico cuya estructura básica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes escalas. Fue planteado por pirmera ver por Benoît Mandelbrot. La palabra `fractal´ deriva del latín y significa fracturado o fragmentado.

Los fractales más comunes son:

·El conjunto de Cantor: Se forma al dividir un segmento en tres partes iguales, y se desprecia la del medio, y las otras dos vuelven a ser dividas cada una en tres partes iguales, y de nuevo se despreciará el nuevo segmento del medio. Es un proceso infinito.

·Alfombra de Sierpinski: Se obtiene de la división de un cuadrado en nueve nuevos cuadrados y se desprecia el del centro, y esto se repite con cada nuevo cuadrado que aparece.

·La curva de Koch: Es el famoso como de nieve y se obtiene de dividir un segmento en tres partes iguales, y la del medio se convierte en dos nuevos segmentos que forman 60º con el antiguo segmento, es decir, serían los lados de un triángulo equilátero cuya base hubiese sido el antiguo fragmento.

·Curvas que cubren la superficie: 

·Conjuntos de Julia: Fractal relacionado con los números complejos.

·Conjunto de Mandelbrot: Fractal relacionado también con lo números complejos.

Triángulo de Sierpinski:

El triángulo de Sierpinski es uno de los fractales clásicos más conocidos.

Se construye a partir de homotecias centradas en los vértices del triángulo, de razón 1/2, es decir se construye a partir de dividir un triángulo equilátero en otros cuatro triángulos semejantes a este que se encuentra en su interior, y despreciando siempre el triángulo central. Este proceso se repetirá de forma infinita.

Perímetro:

Nº de homotecias	Nº de triángulos	Longitud del lado	Perímetro triángulo	Perímetro total
0	1	X	3x	3x
1	3	x/2	3x/2	9x/2
2	9	x/4	3x/4	27x/4
3	27	x/8	3x/8	81x/8
n	3^n	x/2^n	3x/2^n	3^(n+1)/2^n

(Siendo x la longitud del lado inicial)

Área:

Para calcular el área nos damos cuenta que varía de la forma: 

Nº de homotecias	Área total
0	(3/4)^0
1	(3/4) ^1
2	(3/4) ^2
3	(3/4) ^3

Por lo que la fórmula general para calcular el área del triángulo de Sierpinski es:

(3/4)^n (Siendo n el número de homotecias)

Cristina Aguayo Álvarez

Elena Ibáñez Muñoz