El conjunto de Mandelbrot

Mandelbrot es el fundador de una nueva rama de las matemáticas, la geometría fractal. En la geometría convencional, la dimensión de un objeto tiene un valor entero; por ejemplo, una línea tiene una dimensión y un plano tiene dos. En la geometría fractal, los objetos pueden tener dimensiones fraccionarias; por ejemplo, una imagen fractal como la del conjunto de Mandelbrot (de los más importantes) tiene un borde infinitamente detallado, y su dimensión está entre uno y dos. Un fractal se define como la repetición constante de un cálculo simple (iteneración). Pero en el caso del conjunto de mandelbrot es más complejo ya que se forma mediante un número complejo.Las imágenes fractales son generadas utilizando computadores, ya que estos pueden realizar cálculos tan complejos como el estudiado, pero cabe tener en cuenta que lo representado no es propiamente un fractal, ya que por poderosa que sea la máquina, un fractal es infinito y una computadora no puede realizar un cálculo infinitas veces. En el caso del Conjunto de Mandelbrot, este se realiza en un plano bidimensional de números Complejos.

La fórmula que describe este conjunto es:

El  conjunto de Mandelbrot se forma mediante un número complejo (a+bi, a y b números complejos; i=unidad imaginaria). Tenemos pues un número complejo (Z= a+bi), el cual se somete a una "prueba matemática". Para ello tomamos Z y lo elevamos al cautdrado, sumándoselo después al mismo Z. Luego, elevamos ese resultado y lo elevamos nuevamente al cuadrado, sumándoselo a Z y así infinitamente (iteración). Este proceso transforma un número complejo "simple" en otro infinitamente trincado. Representando esto:

FOTOS

Representación matemática del conjunto de Mandelbrot como subconjunto del plano complejo. Los puntos del conjunto se muestran en negro. Obsérvese cómo -1 pertenece al conjunto mientras que 1 no.

Si ponemos muy pequeño el número de iteraciones nos da un fractal con menos colores y menos definido y se va definiendo conforme aumentamos. Para valores del orden de 100 ya no hay diferencia visible, a no ser que hagamos un zoom en alguna parte.Todos los números que al ser iterados se mantienen "realtivamente pequeños" se dice que pertenecen al Conjunto de Mandelbrot. Estos números son representados con color negro. Los demás puntos, se representan dependiendo de su rapidez de iteración (velocidad con la que "lanza" a los valores de z hacia el infinito), esto es, el menos rápido se representa con amarillo, anaranjado, etc., y el más rápido, en colores celeste, azul, azul oscuro y así. En este caso, el mejor de los colores es el negro.

Una propiedad fundamental de los fractales es la autosimilitud o autosemejanza, que se refiere a una cierta invariabilidad con relación a la escala, o dicho de otro modo, al acercarse a ciertas partes de la imagen reaparece en miniatura la imagen total. Un mismo motivo aparece a distintas escalas, a un número infinito de escalas.: Podemos apreciar la autosimilitud:

 A continuación una canción que hace referencia a este conjunto:

Noelia Pérez Mora y Francisco Martín Bayona