Como utilizar números complejos en una hoja de cálculo

Las hojas de calculo son capaces de convertir coeficientes reales e imaginarios en números complejos de la forma x + yi o x + yj.

La sintaxis de la función COMPLEJO tiene los siguientes argumentos:

-Numero real: El coeficiente real del número complejo.

-Numero imaginario : El coeficiente imaginario del número complejo
-Numero real:El sufijo del componente imaginario del número complejo. Si se omite, se supone que sufijo tiene el valor "i".

Para realizar las operaciones se utiliza el prefijo IM. (imaginario).

Operaciones: Donde pone función f(x) se introduce las siguientes funciones:

-Suma: IM.SUM(A1;B1)

-Resta: IM.SUSTR(A2;B2)

-Módulo: IM.ABS(A3)

-Multiplicación: IM.PRODUCT(A4;B4)

-División: IM.DIV(A5;B5)

Y quedaría así:

Cristian Manuel Galán Machuca 
1ºA

El conjunto de Mandelbrot

Mandelbrot es el fundador de una nueva rama de las matemáticas, la geometría fractal. En la geometría convencional, la dimensión de un objeto tiene un valor entero; por ejemplo, una línea tiene una dimensión y un plano tiene dos. En la geometría fractal, los objetos pueden tener dimensiones fraccionarias; por ejemplo, una imagen fractal como la del conjunto de Mandelbrot (de los más importantes) tiene un borde infinitamente detallado, y su dimensión está entre uno y dos. Un fractal se define como la repetición constante de un cálculo simple (iteneración). Pero en el caso del conjunto de mandelbrot es más complejo ya que se forma mediante un número complejo.Las imágenes fractales son generadas utilizando computadores, ya que estos pueden realizar cálculos tan complejos como el estudiado, pero cabe tener en cuenta que lo representado no es propiamente un fractal, ya que por poderosa que sea la máquina, un fractal es infinito y una computadora no puede realizar un cálculo infinitas veces. En el caso del Conjunto de Mandelbrot, este se realiza en un plano bidimensional de números Complejos.

La fórmula que describe este conjunto es:

El  conjunto de Mandelbrot se forma mediante un número complejo (a+bi, a y b números complejos; i=unidad imaginaria). Tenemos pues un número complejo (Z= a+bi), el cual se somete a una "prueba matemática". Para ello tomamos Z y lo elevamos al cautdrado, sumándoselo después al mismo Z. Luego, elevamos ese resultado y lo elevamos nuevamente al cuadrado, sumándoselo a Z y así infinitamente (iteración). Este proceso transforma un número complejo "simple" en otro infinitamente trincado. Representando esto:

FOTOS

Representación matemática del conjunto de Mandelbrot como subconjunto del plano complejo. Los puntos del conjunto se muestran en negro. Obsérvese cómo -1 pertenece al conjunto mientras que 1 no.

Si ponemos muy pequeño el número de iteraciones nos da un fractal con menos colores y menos definido y se va definiendo conforme aumentamos. Para valores del orden de 100 ya no hay diferencia visible, a no ser que hagamos un zoom en alguna parte.Todos los números que al ser iterados se mantienen "realtivamente pequeños" se dice que pertenecen al Conjunto de Mandelbrot. Estos números son representados con color negro. Los demás puntos, se representan dependiendo de su rapidez de iteración (velocidad con la que "lanza" a los valores de z hacia el infinito), esto es, el menos rápido se representa con amarillo, anaranjado, etc., y el más rápido, en colores celeste, azul, azul oscuro y así. En este caso, el mejor de los colores es el negro.

Una propiedad fundamental de los fractales es la autosimilitud o autosemejanza, que se refiere a una cierta invariabilidad con relación a la escala, o dicho de otro modo, al acercarse a ciertas partes de la imagen reaparece en miniatura la imagen total. Un mismo motivo aparece a distintas escalas, a un número infinito de escalas.: Podemos apreciar la autosimilitud:

 A continuación una canción que hace referencia a este conjunto:

Noelia Pérez Mora y Francisco Martín Bayona

Fractales y Papiroflexia

Un fractal es un objeto cuya estructura se repite a diferentes escalas. Es decir, por mucho que nos acerquemos o alejemos del objeto, observaremos siempre la misma estructura. De hecho, somos incapaces de afirmar a qué distancia nos encontramos del objecto, ya que siempre lo veremos de la misma forma. Son entidades matemáticas que están por todas partes. Y, precisamente, por su variedad, son difíciles de definir porque no todos cumplen las mismas características, aunque hay algo en común: son el producto de la repetición de un proceso geométrico elemental que da lugar a una estructura final de una complicación extraordinaria. Da como resultado un conjunto cuya frontera es imposible dibujar a pulso. Hay muchos objetos de la naturaleza que, debido a su estructura o comportamiento, son considerados fractales naturales aunque no lo parezcan: las nubes, las montañas, las costas, los árboles y los ríos. En lo que se diferencian de los fractales matemáticos es que éstos son entidades infinitas. El termino fractal fue propuesto por el matemático Benoît Mandelbrot en 1975.

Existen muchísimos fractales, ya que como veremos, son muy fáciles de construir. Los ejemplos más populares son el conjunto “Mandelbrot” o el triángulo “Sierpinski”. Este último se realiza de una forma muy sencilla: dibujamos un triángulo grande, colocamos otros tres triángulos en su interior a partir de sus esquinas, repetimos el último paso.

                   

Otro sencillo ejemplo lo constituye la alfombra de Sierpinski:

                                              

Como puede verse, la estrategia más sencilla para conseguir un fractal, es coger una figura y reproducirla en versiones más pequeñas. Sin embargo, se pueden conseguir objetos muchos más complejos.

El conjunto de Mandelbrot fue propuesto en los años setenta, pero no fue hasta una década más tarde cuando pudo representarse gráficamente con un ordenador. Este conjunto se define a partir de un número “c” cualquiera, que define la siguiente sucesión:

Para diferentes valores de “c”, obtenemos diferentes sucesiones. Si la sucesión es acotada, “c” pertenece al conjunto de Mandelbrot, y si no, queda excluido. Si además consideramos números complejos, obtenemos la siguiente figura:

El origami es el arte de origen japonés consistente en el plegado de papel sin usar tijeras ni pegamento para obtener figuras de formas variadas, muchas de las cuales podrían considerarse como esculturas de papel. Según la real academia española este arte se denomina papiroflexia.

La particularidad de esta técnica es la transformación del papel en formas de distintos tamaños partiendo de una base inicia cuadrada o rectangular que pueden ir desde sencillos modelos hasta plegados de gran complejidad. En el origami se modela el medio que nos rodea y en el cual vivimos: fauna y flora de todos los continentes, la vida urbana, animales mitológicos y un sinfín de otras figuras.

El origami también tiene una vertiente científica, dependiendo de las preferencias de cada plegador, o de su sistema de creación. Los pliegues no son más que operaciones de simetría, a veces bastante complejas, y pueden ser ideadas y estudiadas metodológicamente en términos geométricos. El carácter matemático que pueda tener el plegado de papel no está reñido con el lado artístico, aunque tampoco tiene por qué coincidir. Por ejemplo podemos mencionar a la gente que se dedica a demostrar teoremas geométricos utilizando sólo el papel, incluso hay trabajos publicados sobre la resolución de ecuaciones de 3er grado sólo doblando el papel. Como consecuencia lógica de este campo es la versatilidad que ha dado el origami a la enseñanza en las clases de matemáticas a nivel preuniversitario. Además, el origami ofrece un ingrediente especial ya que, como las matemáticas, el origami es infinito.

                      

-María Cervera Lara

-Celia Jiménez Jaén

La alfombra de Sierpinski

LA ALFOMBRA DE SIERPINSKI

La alfombra de Sierpinski es un conjunto fractal descrito por primera vez por Waclaw Sierpinski, un matemático polaco que hizo grandes aportaciones en las teorías de conjuntos, números, funciones y topología.

La construcción de la alfombra de Sierpinski se define de forma recursiva:

1. Comenzamos con un cuadrado.
2. El cuadrado se corta en 9 cuadrados congruentes, y eliminamos el cuadrado central.
3. El paso anterior vuelve a aplicarse recursivamente a cada uno de los 8 cuadrados restantes.
   

La alfombra de Sierpinski es el límite de este proceso tras un número infinito de iteraciones.

Construcción de la alfombra de Sierpinski:
Paso 1	Paso 2	Paso 3	Paso 4	Paso 5

De esta forma si llamamos n al número de iteraciones, el número de cuadrados de cada iteración se expresará con la siguiente expresión:

N = 8ⁿ cuadrados

La longitud del lado de los cuadrados en cada iteración se expresará:

L = (1/3)ⁿ

El perímetro de cada uno de los cuadrados de cada iteración se expresará:

P = (1/3)ⁿ · 4

El área de cada cuadrado de cada una de las iteraciones se expresará:

A = (8/9)ⁿ

Álvaro Castillo García

Alfonso Extremera Fernández

Relación de los fractales con el arte, la naturaleza y el cine.

Para hablar de los fractales es necesario conocer de ellos.

¿Qué es un fractal?

Es un objeto geométrico cuya estructura básica, fragmentada o o irregular, se repite a diferentes escalas.

RELACIÓN CON EL ARTE

A la combinación de Arte y la generación de Fractales se le conoce como "Arte Fractal". El arte fractal es creado calculando fractales y representando el resultado calculado (el fractal) en una imagen, animación, música u otro tipo de "medio". La mayoría de arte fractal (o al menos, el más popular) se crea con la asistencia de software (para generarlos).

Encontramos que Escher, que era un gran apasionado de la geométrica y por ello en sus obras aparecen plagadas de simetrías, rotaciones, translaciones y toda serie de funciones puntuales que van modelándolas.

Un ejemplo son sus teselados en los que encontramos esta característica de autosemejanza de fractales.

Observemos el dibujo que está inspirado en el modelo Poicaré. Según el propio Escher en el que se puede representar la totalidad de una superficie finita encerrada en un circulo finito.

En este cuadro:

Vemos como para marcar el cambio gradual de tamaño de los dibujos este artista nos muestra las construcciones fractales, guiándonos a través de ejes virtuales que se forman uniendo los puntos en los que los dibujos de uno y otro color se encuentran.

CON LA NATURALEZA

Las formas de la naturaleza son fractales y múltiples procesos de la misma se rigen por comportamientos fractales. Esto quiere decir que una nube o una costa pueden definirse por un modelo matemático fractal que se aproxime satisfactoriamente al objeto real.

ELEMENTOS DE LA NATURALEZA QUE PUEDEN ESTUDIARSE MEDIANTE UN MODELO FRACTAL:

-CUERPO HUMANO: Abundan las estructuras fractales.

*Redes nerviosas.

*Redes de vasos sanguíneos.
*Conductos biliares.
*Sistemas de tubos pulmonares y bronquios
ELEMENTOS DE LA NATURALEZA:
*Montañas
*Coníferas
*Sauces

CON EL CINE

En relación del cine con los fractales podemos observar como en esta foto de la portada de la película del Niño con el Pijama de Rayas se halla la simetría de la alambrada a ambos lados.

Otro ejemplo de escenarios fractales son los que aparecen en la película UP

 Los fractales se han revelado especialmente útiles en la simulación de fluidos: llamas, inundaciones, etc. Así dando a la película una imagen mas realista.

Realizado por : María Muñoz y Jessica Rosales

Abraham de Moivre, Gauss y la relación de estos con los nº complejos

Abraham de Moivre

Abraham de Moivre (26 de mayo de 1667, Champagne - 27 de noviembre de 1754, Londres) fue un matemático francés, conocido por la fórmula de Moivre y por predecir el día de su muerte a través de un cálculo matemático.

Biografía

Moivre es conocido por la fórmula de De Moivre y por su trabajo en la distribución normal y probabilidad, fue elegido miembro de la Royal Society de Londres en 1697 y fue amigo de Isaac Newton y Edmund Halley.

Moivre publicó el libro de probabilidad The Doctrine of Chances y, como era calvinista, tuvo que salir de su país natal y pasó el resto de su vida en Inglaterra. Lo cierto es que toda su vida fue pobre y ganaba algo de dinero jugando al ajedrez.

Murió en Londres y lo curioso es que él predijo que moriría el día que murió. Observó que cada día dormía quince minutos más que la noche anterior y calculó que moriría aquel día que durmiera veinticuatro horas.

La fórmula de moivre

La fórmula de De Moivre afirma que para cualquier número complejo (y en particular, para cualquier número real) x y para cualquier entero n se verifica que:

 

Esta fórmula es importante porque conecta a los números complejos con la trigonometría.

Al expandir la parte izquierda de la igualdad y comparando la parte real con la imaginaria, es posible derivar expresiones muy útiles para cos(nx) y sen(nx) en términos de cos(x) y sen(x). Además, esta fórmula puede ser utilizada para encontrar expresiones explícitas para la enésima raíz de la unidad, eso es, números complejos z tal que zn = 1.

Obtención

Johann Carl Friedrich Gauss

 

(1777 – 1855), fue un matemático, astrónomo, geodesta, y físico alemán que contribuyó significativamente en muchos campos, incluida la teoría de números, el análisis matemático, la geometría diferencial, la estadística, el álgebra, la geodesia, el magnetismo y la óptica. Considerado «el príncipe de las matemáticas» y «el matemático más grande desde la antigüedad», Gauss ha tenido una influencia notable en muchos campos de la matemática y de la ciencia, y es considerado uno de los matemáticos que más influencia ha tenido en la Historia. Fue de los primeros en extender el concepto de divisibilidad a otros conjuntos.

Gauss fue un niño prodigio, a pesar de su condición de ser de una familia campesina de padres analfabetos. Escribió algunos libros como: Disquisitiones arithmeticae

Su relación con los números complejos

 

El término “número complejo” fue introducido por el gran matemático alemán Carl Friedrich Gauss, también abrió el camino para el uso general y sistemático de los números complejos.

En 1811, tiene completamente acabado no sólo la representación de los complejos como puntos de un plano bidimensional, sino también la idea de integración de funciones complejas, el teorema integral o el desarrollo en serie de potencias de funciones analíticas.

Habrá que esperar hasta 1831, para que Gauss, en una extensión de la teoría de los restos bicuadráticos a los números complejos, haga su presentación definitiva y su representación geométrica ante la sociedad matemática, propiciando gracias a su reconocida autoridad su aceptación definitiva. En esta obra introduce la noción de enteros complejos sobre los que generalizará resultados obtenidos para enteros reales.

Realizado por: Lidia Serrano Pérez y Miranda García Torres

Teorema fundamental del Álgebra

Definición

 

Básicamente, tiende a decir que todo polinomio de grado "n" mayor o igual que 1, tiene tantas soluciones o raíces como su grado. Estas raíces pueden ser tanto reales como complejas.

También se puede enunciar de esta manera: Un polinomio en una variable y con coeficientes complejos, tiene tantas raíces como indica su grado, contando las raíces con sus multiplicidades. Vamos con un ejemplo para ilustrar esto.

Tenemos la siguiente ecuación: x^3 - 7x^2 + 25x - 39. Si factorizamos por "ruffini" correctamente podemos sacar una raíz (x - 3). Después al resolver la ecuación de 2 grado que nos queda (x^2 - 4 + 13), obtenemos que x = 4 + y - raíz cuadrada de 36i y todo esto entre 2. Simplificando, nos queda lo siguiente: x = 2+3i y x =2-3i. Es decir esta ecuación tiene una solución real (3) y dos complejas (2 + y - 3i).

Como curiosidad el nombre del teorema es considerado un error por muchos matemáticos, puesto que es más un teorema del análisis matemático, que no del Álgebra.

 

Matemáticos relacionados con este teorema

 

Pedro Rothe, escribió que una ecuación polinómica de grado "n" (con coeficientes reales) puede tener "n" soluciones. Alberto Giraldo, en su libro "l'invention nouvelle en l'Álgebre" (publicado en 1629), aseveró que una ecuación de grado "n" tiene "n" soluciones, `pero no menciona que dichas soluciones deban ser números reales. Más aún, él agrega que su afirmación es válida (salvo que la ecuación sea incompleta), con lo que quiere decir que ninguno de los coeficientes del polinomio sea igual a cero. Sin embargo, cuando explica en detalle a qué se está refiriendo, se hace evidente que el autor piensa que la aseveración siempre es cierta; en particular, muestra que la ecuación

 

a pesar de ser incompleta, tiene las siguientes cuatro soluciones (la raíz 1 tiene multiplicidad 2):

 

De todas formas, en 1702 Leibniz dijo que ningún polinomio de tipo (con a real y distinto de 0) se puede escribir como un producto de polinomios con coeficientes reales y de grados 1 ó 2. Nikolaus Bernoulli hizo la misma afirmación concerniente al polinomio , pero recibió una carta de Euler en 1742 en el que le decía que su polinomio pasaba a ser igual a:

con α igual a raíz cuadrada de 4 + 2√7. Igualmente mencionó que:

El primer intento que se hizo para demostrar el teorema lo hizo d'Alembert en 1746. Su demostración tenía un fallo, en tanto que asumía implícitamente como cierto un teorema (actualmente conocido como el teorema de Puiseux) que no sería demostrado hasta un siglo más tarde. Entre otros Euler (1749), de Foncenex (1759), Lagrange (1772) y Laplace(1795) intentaron demostrar este teorema.

A finales del siglo XVIII, se presentaron dos nuevas pruebas, una por James Wood y otra por Gauss (1799), pero ambas igualmente incorrectas. Finalmente, en 1806, Argand publicó una prueba correcta para el teorema, enunciando el teorema fundamental del álgebra para polinomios con coeficientes complejos. Gauss produjo otro par de demostraciones en 1816 y 1849, siendo esta última otra versión de su demostración original.
El primer libro de texto que contiene la demostración de este teorema fue escrito por Cauchy. Se trata del "Course d'anlyse de l'École Royale Polytechnique".

 

Jaime Gálvez Romero

Antonio Manuel Pérez Montoro

1 Bach A.