Teorema fundamental del Álgebra

Definición

 

Básicamente, tiende a decir que todo polinomio de grado "n" mayor o igual que 1, tiene tantas soluciones o raíces como su grado. Estas raíces pueden ser tanto reales como complejas.

También se puede enunciar de esta manera: Un polinomio en una variable y con coeficientes complejos, tiene tantas raíces como indica su grado, contando las raíces con sus multiplicidades. Vamos con un ejemplo para ilustrar esto.

Tenemos la siguiente ecuación: x^3 - 7x^2 + 25x - 39. Si factorizamos por "ruffini" correctamente podemos sacar una raíz (x - 3). Después al resolver la ecuación de 2 grado que nos queda (x^2 - 4 + 13), obtenemos que x = 4 + y - raíz cuadrada de 36i y todo esto entre 2. Simplificando, nos queda lo siguiente: x = 2+3i y x =2-3i. Es decir esta ecuación tiene una solución real (3) y dos complejas (2 + y - 3i).

Como curiosidad el nombre del teorema es considerado un error por muchos matemáticos, puesto que es más un teorema del análisis matemático, que no del Álgebra.

 

Matemáticos relacionados con este teorema

 

Pedro Rothe, escribió que una ecuación polinómica de grado "n" (con coeficientes reales) puede tener "n" soluciones. Alberto Giraldo, en su libro "l'invention nouvelle en l'Álgebre" (publicado en 1629), aseveró que una ecuación de grado "n" tiene "n" soluciones, `pero no menciona que dichas soluciones deban ser números reales. Más aún, él agrega que su afirmación es válida (salvo que la ecuación sea incompleta), con lo que quiere decir que ninguno de los coeficientes del polinomio sea igual a cero. Sin embargo, cuando explica en detalle a qué se está refiriendo, se hace evidente que el autor piensa que la aseveración siempre es cierta; en particular, muestra que la ecuación

 

a pesar de ser incompleta, tiene las siguientes cuatro soluciones (la raíz 1 tiene multiplicidad 2):

 

De todas formas, en 1702 Leibniz dijo que ningún polinomio de tipo (con a real y distinto de 0) se puede escribir como un producto de polinomios con coeficientes reales y de grados 1 ó 2. Nikolaus Bernoulli hizo la misma afirmación concerniente al polinomio , pero recibió una carta de Euler en 1742 en el que le decía que su polinomio pasaba a ser igual a:

con α igual a raíz cuadrada de 4 + 2√7. Igualmente mencionó que:

El primer intento que se hizo para demostrar el teorema lo hizo d'Alembert en 1746. Su demostración tenía un fallo, en tanto que asumía implícitamente como cierto un teorema (actualmente conocido como el teorema de Puiseux) que no sería demostrado hasta un siglo más tarde. Entre otros Euler (1749), de Foncenex (1759), Lagrange (1772) y Laplace(1795) intentaron demostrar este teorema.

A finales del siglo XVIII, se presentaron dos nuevas pruebas, una por James Wood y otra por Gauss (1799), pero ambas igualmente incorrectas. Finalmente, en 1806, Argand publicó una prueba correcta para el teorema, enunciando el teorema fundamental del álgebra para polinomios con coeficientes complejos. Gauss produjo otro par de demostraciones en 1816 y 1849, siendo esta última otra versión de su demostración original.
El primer libro de texto que contiene la demostración de este teorema fue escrito por Cauchy. Se trata del "Course d'anlyse de l'École Royale Polytechnique".

 

Jaime Gálvez Romero

Antonio Manuel Pérez Montoro

1 Bach A.